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Comentário

Como se produz uma fórmula matemática? Essa pergunta é relevante e deve ser dirigida aos alunos do ensino médio. De onde vêm as fórmulas para o cálculo dos volumes dos sólidos geométricos, por exemplo?

Para não serem interpretadas como um monte de letras, dissociadas das idéias e dos conceitos matemáticos, é importante que se mostre aos alunos, por meio de exemplos, que as fórmulas são sínteses das regras matemáticas e foram produzidas para facilitar a resolução dos problemas.

Nosso ponto de partida será um problema resolvido por Gauss que facilita explicar o processo de construção de uma fórmula matemática.

Objetivo

1) Mostrar as fórmulas matemáticas como conseqüência das regras que são descobertas para a resolução de determinados problemas.

2) Relacionar os conteúdos do ensino fundamental com os do médio por meio de problemas que gerem procedimentos comuns de resolução.

3) Estimular a investigação das fórmulas que possam generalizar determinados cálculos.

Série

1a do ensino médio.

Estratégias

1) Narrar o famoso caso do problema resolvido por Gauss com oito anos de idade.

Conta-se que o seu professor pediu para que a sala calculasse o valor da soma das parcelas de 1 a 100, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6... + 98 + 99 + 100, acreditando que manteria os alunos ocupados por longo tempo. Porém, rapidamente, Gauss se levantou e apresentou o resultado para o professor.

A partir dessa narrativa, desafiar os alunos a efetuarem a mesma soma discutindo quais são os caminhos mais rápidos.

2) Reescrever todas as parcelas dessa soma em ordem crescente e decrescente, alinhando-as em coluna, logo abaixo da seqüência proposta no problema:




Somar cada coluna e observar que o resultado obtido é sempre 101 (1+100 = 101, 2 + 99 = 101 .... 98 + 3 = 101, 99 + 2 = 101 e 100 + 1 = 101). A partir daí, perguntar para a sala quais os procedimentos ainda necessários para concluir a resolução.

3) Mostrar que o procedimento restante é a multiplicação de 101 por 100, dividindo esse produto por 2. Desafiar os alunos a interpretarem e entenderem esse procedimento.

4) Perguntar para a sala se esse procedimento, adotado para a resolução desse problema, pode ser aplicado em outros problemas que envolvam a soma de um determinado número de parcelas. Sugerir para os alunos verificarem alguns casos como:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14

1 + 3 + 5 + 7+ 9+ 11 + 13

1 + 4 + 6 + 7 + 10 + 12 + 13

5) A partir das sugestões dadas anteriormente, pedir para os alunos inventarem outras seqüências para esse tipo de soma e verificarem a regra utilizada por Gauss. Qual a condição necessária para que se possa aplicar essa regra?

6) Perguntar para os alunos como essa regra pode ser escrita matematicamente. Exemplificar na sala o desenvolvimento de alguma fórmula aplicada em outro conteúdo. A sugestão é que seja relacionado ao conteúdo do ensino fundamental. Uma boa e simples experiência é a dedução da fórmula para o calcular da área do retângulo.

Essa retomada do conteúdo do fundamental é importante para mostrar que, independente do assunto abordado, vários procedimentos são comuns no desenvolvimento dos conceitos matemáticos.

7) Nessa perspectiva, pedir para os alunos desenharem uma malha quadriculada com 10 linhas e 10 colunas produzindo quadrados com 1 cm de lado. Feito isso, oriente-os a desenhar também nessa malha três retângulos, sendo um com 3 cm de comprimento e 2 cm de largura, outro com 6 cm de comprimento e 1 cm de largura, e o terceiro com 5 cm de comprimento e 3 cm de largura. A partir da definição matemática de que um quadrado de 1cm de lado ocupa uma área de 1cm², calcular a área de cada retângulo relacionando com a fórmula:

Área= (medida do comprimento) X (medida da largura)

Relacionar esta fórmula com a quantidade de quadradinhos contidos em cada retângulo desenhado. Substituir as palavras da fórmula por letras, indicando o significado de cada uma.

7) Retornar aos exemplos anteriores relacionados à soma e sugerir aos alunos que escrevam a regra observada por Gauss com a utilização de letras apontando, novamente, o significado de cada uma.

É esperado que cheguem a resultados como sendo a o valor da primeira parcela, b o valor da última, n o número de parcelas e S o valor da soma.

Atividades

Narrar a lenda do jogo de xadrez (ver o plano de aula A lenda do jogo de xadrez e a função exponencial) que é sobre um rei que pede ao sábio, inventor do jogo, que escolha qualquer coisa do seu reino como forma de gratificação pela invenção. O sábio pede como prêmio grãos de trigo na condição de que seja colocado 1 grão na primeira casa do tabuleiro, 2 grãos na segunda, 4 grãos na terceira, 8 grãos na quarta, 16 na quinta, e assim por diante, sempre dobrando o número de grãos de trigo na passagem de cada casa. Depois de relatar a lenda, peça para os alunos:

a) Escreverem a fórmula para calcular da quantidade de trigos definindo como N o número de casas usadas na seqüência.

b) Imaginarem uma outra regra matemática para a lenda. Por exemplo, em vez de dobrar, triplicar. Qual deverá ser a fórmula para esse caso?

c) Ampliarem a quantidade inicial de trigo. Como sugestão, em vez de começar com um grão, começar com 5. A partir dessa condição, pedir para escreverem novamente a fórmula com a quantidade de grãos quadruplicando na passagem de uma casa para outra.

2) Pedir para os alunos pesquisarem o desenvolvimento de algumas fórmulas matemáticas. Uma sugestão é a fórmula para cálculo do volume do cilindro que relaciona a área do círculo, conteúdo do ensino fundamental, com o volume de prismas retos, conteúdo a ser desenvolvido no ensino médio.

Antonio Rodrigues Neto é professor de matemática no ensino fundamental e superior. É mestre em educação pela Faculdade de Educação da USP com a dissertação "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez".

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