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Objetivos

Implementar o estudo de geometria e elementos de trigonometria na construção do octógono regular.

Público alvo

Alunos do 9º. ano do ensino fundamental

Tempo de execução

Uma hora-aula

Introdução

Freqüentemente, os alunos nos procuram com perguntas do tipo: para que serve tudo o que se aprende? Por que motivo temos que estudar matérias que a gente sabe que nunca vai usar na vida?

Há os que pretendem ser empresários, e se possível de sucesso; empresários de sucesso certamente não vão precisar de matemática. Bem, talvez não seja tudo tão descartável: alguns cálculos de porcentagens, equações, gráficos, até se podem admitir; mas geometria... é absurdo. É coisa de engenheiro. E assim, entre um e outro assunto classificado como desinteressantes, os alunos vão colecionando provas irrefutáveis da inutilidade de certos conhecimentos.

Talvez não seja assim. Se há uma coisa que nunca saberemos, será quando algo nos vai ser útil.

Proponha aos alunos a seguinte situação: imaginem que vocês são donos de uma pizzaria. Qual a forma geométrica mais interessante para um pizzaiolo? Certamente o círculo, alguém dirá. Mas certo empresário de embalagens encontrou no octógono um motivo para sorrir. Com ele, hoje, sorriem centenas de pizzaiolos.

Material

Uma caixa de pizza de formato octogonal

Atividade

Considere uma circunferência de raio r; sobre essa circunferência, disponha oito pontos de modo que a circunferência fique dividida em oito arcos de mesmo comprimento.

A figura obtida pela união dos pontos consecutivos tem o nome de octógono regular.

Alegando que a forma circular dá muita perda de papelão, e talvez apelando para certa tendência modernista, o formato circular da caixa de pizza foi substituído pelo octogonal. Há vantagem para o fabricante: as caixas podem ser entregues desmontadas, economizando espaço e diminuindo a perda por amassamento, sem falar na alegada perda de papelão e facilidade de fabricação (as embalagens são fabricadas recortando-se, apenas, o papelão, não havendo mais a necessidade de moldagem).

Mas, o que diz o consumidor? O consumidor não diz nada; está de boca cheia, porque a pizza sempre demora mais do que a gente gostaria, não há clima favorável para se formar alguma opinião. Até porque a caixa tem o mesmo "tamanho" da caixa circular; a distância entre dois vértices opostos do octógono é o mesmo diâmetro da caixa original. Abrindo a caixa octogonal, vemos que a pizza encaixa perfeitamente nas paredes opostas. Tudo bem.

Aproveitemos esse momento, longe da tentação calórica, e vamos fazer umas continhas. Deixe escrito na lousa:

1. Dado um círculo de raio r, calcule a sua área. Chame essa figura de C₁

2. Dado um octógono regular inscrito num círculo de raio r, determine a sua área. (nas classes mais adiantadas, peça que eles mostrem que a área pode ser calculada como A = , onde 135° é o ângulo interno do octógono regular.)

3. Está correta a afirmativa de que a caixa circular e a caixa octogonal têm o mesmo "tamanho"? Justifique a sua resposta.

4. Determine a área do círculo inscrito no octógono, em função do mesmo raio r do círculo circunscrito. Chame essa figura de C₂.

5. Determine, agora, a razão entre as áreas de C₂ e C₁.

Perceba que há diferença entre a quantidade de pizza que cabe na caixa circular e a que cabe na caixa octogonal.

Vencida essa etapa de geometria, falemos de finanças.

6. Suponha o pizzaiolo continua cobrando o mesmo preço P da pizza, como se ela tivesse o mesmo tamanho. Calcule o lucro percentual numa pizza de caixa octogonal em relação à de caixa circular.

7. Você sabe que as promoções estão em moda. De quanto seria o desconto a ser dado numa pizza de caixa octogonal para que ela tivesse, proporcionalmente, o mesmo preço de uma pizza de caixa circular?

Aqui, você tem um espaço para fazer os seus comentários. Ou, quem sabe, deixar que tudo termine em pizza.

Para depois da atividade

Muitos mosaicos árabes têm como base os octógonos regulares, como os que se vêem nas mesquitas marroquinas. A construção de mosaicos é uma ótima oportunidade para se estudar as propriedades de polígonos regulares.

*Maria Angela de Camargo é pesquisadora em educação matemática e professora do Colégio Ítaca.

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