Nas situações em que a quantidade pedida não sai em etapas sucessivas, ou a quantidade de etapas é um pouco maior (ex: tenho 100 reais, compro 20 carrinhos, fico com 5 e dou mais 5 para cada um de meus três primos, e ainda me sobram 20 reais), é necessária alguma modelagem matemática. Isso acontece em torno do sexto ano do ensino fundamental, quando já é possível requerer um pouco de abstração. Atribui-se à variável pedida um símbolo, x ou y, escrevem-se sentenças matemáticas que descrevem as propriedades da variável (dados do problema) e resolvem-se equações que darão o seu valor.
A essa altura, estamos trabalhando com o universo dos números naturais ou no máximo, com os racionais não negativos. As equações que modelam as situações-problema são de primeiro grau, solucionáveis com base nos axiomas que Euclides já conhecia no ano 300 a.C.
1) As coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
2) Se coisas iguais são somadas a coisas iguais, os resultados são iguais.
3) Se de coisas iguais se subtraem coisas iguais, os restos são iguais.
4) Coisas que podem ser superpostas são iguais entre si.
5) O todo é maior do que a parte.
Em turmas mais fortes, os professores já introduziram a propriedade distributiva do produto sobre os termos da soma ou da subtração, com o material Dourado-Montessori.
Com essas ferramentas, os alunos trabalham com equações em duas frentes:
Observamos que nem sempre os alunos têm clara essa diferença. Também, a maior parte dos alunos tem dificuldade nas operações, e principalmente na transposição da situação real para a modelagem.
A linguagem algébrica foi introduzida apenas no final do século 16, por François Viète, na troca das variáveis por letras, obtendo a solução. Até então, o que se tinha eram soluções retóricas de algumas situações padronizadas. A introdução dessa linguagem facilitou muito a solução de equações conhecidas e alavancou o conhecimento em outras áreas, como por exemplo, a física.
"Para descobrir uma quantidade, quando o resultado de uma operação é dada, transforme uma divisão em uma multiplicação, uma multiplicação em uma divisão, [...] uma soma em uma subtração e uma subtração em uma soma. Veja um exemplo:
Diga-me, menina esperta, se você conhece o procedimento correto da inversão, qual é o número que multiplicado por dois, somado com três, dividido por quatro e diminuído de cinco dá resultado seis?"
Peça aos meninos que tentem a solução, usando o método de resolução indicado (valem até calculadoras!)
O resultado é quatro.
2) Representações usando linguagem algébrica. Complete junto com a classe:
a. Considere um número real qualquer x. Como se representa:
b. Como se escreve, usando linguagem matemática, as seguintes sentenças?
c. Considere duas variáveis x e y. Como se escrevem as seguintes sentenças ou expressões matemáticas?
d. Para se pendurar fotos em uma exposição, foram montados quadros, com as seguintes características:
Desenhe um quadro de base x e altura y. Depois:
3) Esse problema usa axiomas de igualdade, soma e subtração de modo informal. Foi aplicado em uma Olimpíada de Matemática em 2005, para alunos de 6° e 7° anos do ensino fundamental.
Figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio?
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Divida a lousa em duas regiões: coloque à esquerda o texto. Combine com a classe quais e quantas variáveis os alunos desejam atribuir às quantidades pedidas. Agora, no lado direito, peça que eles transformem em sentenças matemáticas as instruções do texto, à esquerda. Faça com que eles percebam que cada instrução corresponderá a uma alteração na(s) sentença(s) matemática(s)!
Não deixe de verificar se o resultado obtido é razoável. Respostas do tipo "5 quadrados" ou "2,9 quadrados" seriam aceitáveis?
E se tivéssemos que resolver esse outro problema, do mesmo "Lilavati", pelo mesmo método?
"A quinta parte dum enxame de abelhas pousou numa flor de Kadamba,
A terça parte numa flor de Silinda,
O triplo da diferença entre estes dois números voa sobre uma flor de Krutaja
E uma abelha sozinha, no ar, atraída pelo perfume dum jasmim e dum pandnus.
Diz-me, bela menina, qual é o número das abelhas."
2) Leia os axiomas para a classe. A essa altura, já são quase intuitivos para a maioria dos alunos.
Maria Ângela de Camargo é professora de matemática do Colégio Ítaca.
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