Revisão de geometria plana

Maria Ângela de Camargo

Objetivo

Rever os principais conceitos de geometria plana, necessários para o estudo de geometria espacial e analítica.

Público alvo

Alunos no segundo ano do ensino médio, antes do estudo de sólidos, e no terceiro ano, em fase de revisão para vestibulares.

Duração

Quatro horas-aula (aproximadamente 200 minutos).

Comentários

A maioria dos conteúdos de geometria euclidiana plana é aplicada no ensino fundamental, sem muito aprofundamento. Através de objetos bem conhecidos dos alunos das primeiras séries, são introduzidas as idéias de entes primitivos (ponto, reta, plano), segmentos, figuras planas e ângulos. As crianças trabalham com estes elementos.

Até o sexto ou sétimo ano do ensino fundamental são ensinados os nomes de triângulos notáveis, as cevianas e como calcular o perímetro e a área de polígonos. Alunos com mais sorte aprendem os casos de congruência de triângulos e até algumas construções geométricas. Chegamos então ao oitavo e nono ano, quando aparecem os importantes teoremas de Tales e Pitágoras e a semelhança entre figuras.

No ensino médio, há pelo menos duas razões para a realização desta revisão:

  • propriedades da geometria plana são demonstradas em problemas clássicos de geometria analítica;
  • propriedades de elementos de geometria métrica (como apótemas e alturas) lançam mão de semelhança ou de triângulos retângulos.

 

Material

Livros usados no ensino fundamental, que trabalham o tópico geometria plana.

Atividade

1) Divida a classe em duplas. Certifique-se de que cada dupla tenha um livro para consulta;


2) Entregue um roteiro para cada aluno. O ideal é que haja espaço no próprio roteiro para que o aluno resolva os exercícios, mas eles também podem ser feitos no caderno;

3) O trabalho deve ser realizado em duplas, mas cada aluno deve preencher seu próprio material;

4) Combine com a turma um prazo para preencher todo o roteiro, ou imponha limites para cada conjunto de itens (exemplo: vamos parar e comentar a cada vinte minutos, a cada meia hora).

Roteiro

1) Você conhece algum objeto facilmente identificável com:


 

  • um ponto?
  • uma reta?um plano?
  • uma semi-reta?
  • um segmento?
  • um ângulo?

 

2) Quais as definições dos seguintes entes geométricos?

 

  • ponto médio de um segmento?
  • bissetriz de uma região angular?
  • perpendicular a um segmento?
  • mediatriz de um segmento?
  • circunferência?
  • triângulo retângulo?

 

3) Faça desenhos que evidenciem os seguintes casos de congruência entre triângulos:

a) caso LLL

b) caso LAL

c) caso ALA

d) caso LAA

4) Faça desenhos que ilustrem:

a) o teorema de Tales

b) a semelhança de triângulos

c) o teorema de Pitágoras

5) Por que o caso AAA não é um caso de congruência entre triângulos?

6) Façam desenhos que evidenciem as seguintes propriedades:

a) "num triângulo isósceles a mediana relativa à base é perpendicular a essa base".

b) "num triângulo isósceles, a mediana relativa à base é a bissetriz do ângulo do vértice".

c) "O baricentro de um triângulo divide as medianas em segmentos que estão na razão de 2:1, isto é, a distância entre o baricentro e um vértice é o dobro da distância entre o baricentro e o ponto médio do lado oposto".

d) "quando se baixa a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, obtemos dois outros triângulos retângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo retângulo original. Tais relações de semelhança têm o nome de relações métricas no triângulo retângulo".

7) O que é:

a) um paralelogramo?

b) um retângulo?

c) um losango?

8) Faça desenhos que evidenciem as seguintes propriedades:

a) "as diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios".

b) "as diagonais de um losango se cruzam em ângulo reto". c) "a diagonal de um losango é a bissetriz dos ângulos com origem nos vértices do losango".

d) "quando traçamos uma diagonal AC em um losango ABCD, obtemos dois triângulos ABC e ADC, que são isósceles congruentes".

9) Sobre ângulos na circunferência, desenhe:

a) ângulo central: todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.

b) ângulo inscrito: todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são secantes a essa circunferência.

10) Faça desenhos que evidenciem as seguintes propriedades:

a) "a medida em graus de um ângulo central será a medida de seu arco correspondente".

b) "Um quadrilátero convexo está inscrito numa circunferência se, e somente se, os ângulos opostos são suplementares".

c) "um quadrilátero está circunscrito a uma circunferência se, e somente se, a soma das medidas dos lados opostos é igual à soma das medidas dos outros dois lados".

d) "um triângulo inscrito em uma semicircunferência é sempre retângulo".

e) "quando duas cordas AB e CD de uma circunferência cruzam-se em um ponto P, determinam dois triângulos APD e BPC, que são semelhantes".

11) Quais das sentenças abaixo são verdadeiras?

 

  • Dois triângulos eqüiláteros quaisquer são semelhantes.
  • Dois triângulos retângulos são semelhantes se os catetos de um são proporcionais aos catetos do outro.
  • Num triângulo qualquer, cada lado é maior que a soma dos outros dois.
  • Se as diagonais de um quadrilátero se interceptam nos seus pontos médios, então esse quadrilátero é um retângulo.
  • Se pelo ponto médio do lado AB de um triângulo ABC traçarmos uma reta paralela ao lado BC, então esta reta interceptará o lado AC no seu ponto médio.
  • Todo quadrado é um losango.
  • Todo quadrado é um retângulo.
  • Todo retângulo é um paralelogramo.
  • Todo triângulo eqüilátero é isósceles.
  • Se as diagonais de um quadrilátero convexo se interceptam perpendicularmente e são congruentes, então o quadrilátero é um quadrado.
  • Duplicando-se a base de um retângulo, a área torna-se o dobro da área do retângulo original.
  • Duplicando-se a altura de um triângulo, a área torna-se o dobro da área do triângulo original.
  • Duplicando-se o raio de um círculo, a área torna-se o dobro da área do círculo original.

 

12) O que é um polígono regular?

13) De acordo com a definição dada acima, um polígono regular pode ser não convexo?

14) Qual é a definição de ângulo interno de um polígono?

15) Prove que a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer de n lados obedece à expressão Sn = 180°(n - 2).

16) Prove que a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados obedece à expressão âi = .

17) Qual é a definição de diagonal de um polígono?

18) Lembrando que triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos apresentam números de diagonais respectivamente iguais a ...... , ...... , ...... , ...... e ...... , use o princípio fundamental da contagem para deduzir a expressão que dá o número de diagonais de um polígono de n lados.

19) O que é apótema de um polígono regular?

20) Qual é (em função do lado L do polígono regular):

 

  • O apótema do triângulo eqüilátero:
  • O apótema do quadrado:
  • O apótema do hexágono regular: 21) Prove que a área de um polígono regular pode ser dada pela expressão Sn = pn . an , onde:
  • pn é o apótema do polígono regular;
  • pn é o seu semiperímetro.
  • 22) Formas de calcular a área de um triângulo qualquer (em cada caso, faça o desenho, nomeie os elementos citados e monte a formulinha):

    a) Conhecendo-se a base e a altura relativa a essa base.

    b) Conhecendo-se as medidas de dois lados e do ângulo entre esses lados.

    c) Conhecendo-se as medidas dos três lados.

    d) Conhecendo-se o semiperímetro e o raio da circunferência inscrita.

    Conclusão da atividade

    1) Não deixe de enfatizar que todas as propriedades mencionadas são passíveis de demonstração. O ideal é fazer a demonstração de todas;

    2) Peça que os alunos comentem a qualidade do livro utilizado: se encontraram o que queriam, se é de fácil leitura, se as figuras ajudaram ou se foi preciso consultar outra obra;

    3) Faça com que os alunos comentem a atividade: se foi esclarecedora, se completaram todos os exercícios, se restou alguma dúvida ou se lembraram os conteúdos estudados no ensino fundamental;

    4) Prepare uma lista de problemas sobre geometria analítica ou geometria espacial e peça para a turma resolvê-los consultando o roteiro.

  • Maria Ângela de Camargo
    é professora de matemática do Colégio Ítaca.

    

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