Xadrez e função exponencial

Antonio Rodrigues Neto

Ponto de partida

Há uma lenda sobre o jogo de xadrez, que pode ser encontrada em vários livros como "O Homem que Calculava", de Malba Tahan, e "Matemática Recreativa", de Y.I. Perelman.

Segundo essa lenda, um rei empolgado com as tramas possíveis de serem construídas com esse jogo, pede ao sábio responsável por sua invenção que escolha qualquer coisa do seu reino como forma de gratificação pelo trabalho. O sábio pede como prêmio grãos de trigo.

O rei, bastante surpreso pela simplicidade do pedido, pergunta imediatamente qual é a quantidade desejada. O sábio - deixando o rei ainda mais assustado e intrigado - pede ao soberano que coloque no tabuleiro 1 grão de trigo na primeira casa, 2 grãos na segunda, 4 grãos na terceira, 8 grãos na quarta, 16 na quinta, e assim por diante, dobrando sempre o número de grãos de trigo na passagem de cada casa.

O rei fica perplexo e não entende a limitação do pedido. O nosso ponto de partida é utilizar essa lenda como um problema para introduzir o conceito de função exponencial.

Objetivo

Explorar a regra matemática contida na lenda do xadrez para introduzir o conceito de função exponencial a partir da potenciação, utilizando-a como ferramenta de cálculo para os outros problemas.

Estratégias

1) Apresentar a lenda e desafiar a sala a realizar o cálculo até a sexagésima quarta casa do tabuleiro é a primeira etapa. Checar a velocidade dos alunos no cálculo (pelo menos até a vigésima casa) pode servir como estratégia para retomar o conceito de potenciação como instrumento para a representação de números gigantes.

2) O número 18 446 744 073 709 551 615, como resultado do problema contido na lenda, deve ser apresentado e sugerido para que os alunos leiam em voz alta. É uma quantidade que continua causando estranhamento em alunos e professores. Imagine a armadilha em que o rei estava caindo!

3) No livro de Perelman, é feito um cálculo considerando que um metro cúbico de trigo contém cerca de 15 milhões de grãos. Com isso, a recompensa do inventor do jogo ocuparia um espaço de 12 000 Km3. Se o celeiro tivesse 4 metros de altura por 10 metros de largura, o comprimento deveria ser de 300.000.000 Km, o dobro da distância que separa a Terra do Sol.

4) Organizar os dados do problema criado pela lenda a partir de uma tabela com duas colunas, sendo uma para o número da casa do tabuleiro e uma outra para a quantidade respectiva de trigo que deverá ser escrita forma de potenciação.

5) Identificar na leitura da tabela as variáveis do problema.

6) Identificar a variável dependente e a independente na relação construída pela regra matemática contida na lenda.

7) Discutir a condição que conduz a regra matemática da lenda ao conceito de função.

8) Representar cada variável por uma letra e generalizar a regra para tabuleiros com qualquer quantidade de casas, induzindo a construção da equação N = 2x sendo N a quantidade de grão em cada casa e x o número que indica a posição da casa.

9) Construir um gráfico de N em função de x.

Atividades

1) Mudar a regra para serem triplicados os grãos de trigo, em vez de dobrados, na passagem de uma casa para a outra. Como seria escrita essa função? Qual seria o formato do gráfico?

2) Mudar a regra considerando que, em vez de dobrar, fossem somados dois grãos na passagem de cada casa. Qual o tipo de função que teríamos para esse caso? Construir a equação e o gráfico.

3) E se, em vez de grãos de trigo, fossem gotas de água? Como deveríamos proceder para estimar o volume de água?

4) E se o problema fosse em relação a uma determinada produção de trigo caindo pela metade na passagem de cada ano? Como se representaria analiticamente e graficamente essa situação?

Antonio Rodrigues Neto
é professor de matemática no ensino fundamental e superior. É mestre em educação pela Faculdade de Educação da USP com a dissertação "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez".



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