Inequações logarítmicas - Método de resolução

Para entender a resolução de inequações logarítmicas, é preciso lembrar as equações logarítmicas e também a função logarítmica.

Com relação à equação logarítmica, é preciso lembrar que existem dois tipos:

1. "log de um lado e log do outro";
2. "número de um lado e log do outro".

Exemplos:

1) $${\text{log}}_{2}x={\text{log}}_{2}10$$Condição de existência: x > 0.
Como os logs têm a mesma base, podemos cancelá-los e igualar as bases.
Assim:

2) $$8={\text{log}}_{2}x$$Condição de existência: x > 0.
Devemos aplicar a definição.
Assim:

Sobre a função logarítmica, é preciso lembrar:

A forma de se resolver a inequação logarítmica é a mesma da equação, mas é preciso ter muito cuidado quando a base for 0 < a < 1.

Exemplos:

1) $$3<{\text{log}}_{2}x$$
Condição de existência: x > 0.
Com a base a = 2 > 1, podemos dizer também que:
se $$3<{\text{log}}_{2}x$$ , então $$2^3<x$$ .

2) $${\text{log}}_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)>{\text{log}}_{\frac{1}{2}}8$$

Condição de existência: $$x+1>0\Rightarrow x>-1$$ .

Com a base $$0<a=\frac{1}{2}<1$$ , NÃO podemos dizer também que:

se <$${\text{log}}_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)>{\text{log}}_{\frac{1}{2}}8$$ , então (x + 1) > 8, pois, na função logarítmica decrescente isso não é verdade!

Logo, é preciso inverter o sinal da desigualdade para que ela fique verdadeira.

se $${\text{log}}_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)>{\text{log}}_{\frac{1}{2}}8$$ , então $$x+1<8\Rightarrow x<7$$ .

Com a condição de existência, a solução da inequação é: $$\text{S}=\left\{x\in \text{R}/-1<x<7\right\}$$ .