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Perímetro do círculo - Cálculos a partir do perímetro de polígonos regulares

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Tomando por base um hexágono, podemos deduzir as relações entre seus lados, bem como uma circunferência de raio unitário, na qual ele se encontra inscrito:

  • Figura 1 - Hexágono inscrito em uma circunferência de raio unitário.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Note que o ângulo de 30o é metade do ângulo interno de 60o, que, ao ser multiplicado por 6, resulta em 360o.

A metade do lado l/2, segundo a regra do seno de 30o, vale
 

2 = sen? 3 0 ? = 1 2 = 1

Essa é uma característica importante do hexágono: ter o lado igual ao raio da circunferência em que está inscrito.

O perímetro do hexágono será 6.

Agora, vejamos o hexágono que circunscreve uma circunferência de raio unitário:

  • Figura 2 - Hexágono que circunscreve uma circunferência de raio unitário.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Usando-se a tangente do ângulo de 30o:

 

2 = t g 3 0 ? = 3 3 = 2 3 3

E o perímetro será de:4 3 .

Nota: o valor dos lados poderia ser calculado utilizando-se o teorema de Pitágoras.

Contudo, o comprimento da circunferência estará entre os dois perímetros: o do hexágono inscrito e o do hexágono que circunscreve o círculo:

  • Figura 3. Hexágonos - inscrito e circunscritivo - e circunferência de raio unitário.



 

 

 

 

 

 

 

 

 

Logo, o valor do perímetro da circunferência2 πse encontra entre os valores:



6 < 2 π < 4 3


 

E o valor de π :

3 < π < 2 3 3 < π < 3 , 4 6

Ora, se aumentamos o número de lados do polígono regular, o resultado será um valor de PI cada vez mais exato.

Arquimedes pensou nisso e conseguiu calcular o valor de PI para um polígono de 96 lados, chegando a um valor de:
 

3 2 2 3 7 1 < π < 2 2 7 3 , 1 4 0 8 4 5 < π < 3 , 1 4 2 8 5 7

 

Por exemplo, para um polígono de 384 lados:

3 , 1 4 1 5 6 < π < 3 , 1 4 1 6 7

Você conseguiria chegar à expressão do comprimento do lado de um polígono de 96 lados?

E de 384?

Note que os dois são polígonos com lados múltiplos de 6.

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

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