Para calcularmos a área do retângulo, por que multiplicamos a medida do comprimento pela medida da largura? A interpretação dessa regra - ou dessa fórmula - é um bom desafio para aprendermos e aperfeiçoarmos vários conceitos geométricos.

Para iniciarmos essa interpretação é importante não esquecer a definição de unidade em relação à área. É um procedimento que influenciou o nosso vocabulário, principalmente o dos corretores de imóveis.

Se um corretor afirmar que a área útil de um apartamento possui 80 metros quadrados (m²), ele estará informando, de maneira indireta, que essa área pode ser preenchida com 80 quadrados de 1 metro de lado.

Esse princípio é aplicado em qualquer tipo de figura geométrica, seja ela regular ou irregular. Assim, para um pedaço de cartão com 16 centímetros quadrados, podemos imaginar que, na superfície desse cartão, se encaixam 16 quadrados, cada um deles com 1 centímetro de lado.

Essa forma de interpretar permite construir fórmulas de cálculo para a área de várias figuras geométricas. Para o caso do retângulo, passa a ser um procedimento bem simples, já que fica fácil calcularmos a quantidade de quadrados que podem ser encaixados na superfície dessa figura.

Para ilustrar, vamos partir do desafio de tentar descobrir quantos retângulos podem ser construídos com doze quadrados de 1 cm de lado. Assim, na condição de usarmos, obrigatoriamente, os 12 quadrados na construção de cada retângulo, teremos sempre a área constante de 12 centímetros quadrados, mudando somente o formato do retângulo. É uma atividade que possibilita seis respostas diferentes:

 

 

 

 

 

 

Observando as seis respostas possíveis para esse problema, percebemos que, multiplicando o número de fileiras horizontais pelo número de fileiras verticais, obtemos, para cada caso, o mesmo número de quadrados - que são sempre doze. Não é difícil perceber as multiplicações correspondentes a cada retângulo: 2x6 = 12, 4x3 = 12, 12x1 = 12, 6x2 = 12, 3x4 = 12 e 1x12 = 12.

Nesse jogo geométrico, concluímos que a quantidade de fileiras horizontais fornecerá a largura de cada retângulo, enquanto que a quantidade de fileiras verticais nos informará o comprimento de cada um deles. Como as fileiras são formadas com quadrados de 1 cm de lado, transformamos as fileiras verticais e horizontais nas respectivas medidas que informam as dimensões de cada retângulo.

Partindo do exemplo no qual quatro fileiras informam que um dos lados é igual a 4 cm, concluímos que as respectivas medidas para cada retângulo podem ser descritas como: de 2 cm por 6 cm, de 4 cm por 3 cm, de 12 cm por 1 cm, de 6 cm por 2 cm, de 3 cm por 4 cm e de 1 cm por 12 cm.

A partir dessas relações fica evidente que, ao multiplicarmos o número de fileiras verticais pelo número de fileiras horizontais, estamos multiplicando o comprimento do retângulo pela sua largura. Ou estamos fazendo o produto das duas dimensões - um procedimento que conduz ao número de quadrados que se encaixam dentro desse tipo de figura.

O número de quadrados obtido nessa multiplicação é a medida da área.

Outros exemplos

No mesmo jogo, podemos imaginar outros retângulos, com medidas diferentes, e verificar a elaboração dessa regra matemática de tanta importância.

Em um pedaço de cartão retangular, com 2 cm de largura e 5 cm de comprimento, cabem quantos quadrados de 1 cm de lado? E em um terreno retangular, de 12 m por 7m, qual é a medida dessa área?

Agora, as repostas - 10 centímetros quadrados e 84 metros quadrados - não são obtidas somente com aplicação da regra. Podem ser também investigadas em um divertido quebra-cabeça, cujas peças são os quadrados, essas figuras geométricas simples, mas sempre presentes nos problemas de matemática.

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação professor de matemática no ensino fundamental e superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP.