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Matem�tica

F�rmula de Bhaskara

Resolva equa��es de 2� grau

Carlos Alberto Campagner*
Especial para a P�gina 3 Pedagogia & Comunica��o
As equa��es de 2� grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. J� no caso das equa��es completas, � necess�rio utilizar uma f�rmula matem�tica: a f�rmula de Bhaskara (l�-se b�scara). Uma equa��o de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a vari�vel ao quadrado, a vari�vel e o termo sem ela.

Eis a seguinte f�rmula geral:

ax2 + bx + c = 0

Se a for igual a zero, o que temos � uma equa��o do 1o grau, logo - para ser uma equa��o do 2o grau - o coeficiente a n�o pode ser igual a zero.

  • a � o coeficiente do termo que possui a inc�gnita ao quadrado (x2);

  • b � o coeficiente do termo que possui a inc�gnita (x);

  • c � o coeficiente do termo independente.

    Na equa��o - 34a2 + 28a - 32 = 0 tem-se:

    a = - 34

    b = 28

    c = - 32

    Mas e na equa��o 10x - 3x2 = 32 +15x2 ?

    Como se viu acima, � poss�vel reduzir a equa��o � sua forma geral:

    Subtraindo 32 de ambos os lados:

    10x - 3x2 - 32 = 32 +15x2 - 32

    10x - 3x2 - 32 = 15x2.

    Subtraindo 15x2 em ambos os termos:

    10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 15x2 - 15x2

    10x - 3x2 - 32 - 15x2 = 0

    Somando-se os termos em comum:

    10x - 32 - 18x2 = 0

    Colocando em ordem de maior para o menor expoente:

    - 18x2 + 10x - 32 = 0

    Agora fica f�cil de determinar os coeficientes:

    a = -18

    b= +10

    c = -32

    F�rmula geral de resolu��o de equa��es de 2� grau

    reprodu��o

    Acima voc� tem a f�rmula de bhaskara, utilizada para resolver as equa��es de 2� grau. Veja como se chegou at� essa f�rmla, partindo da f�rmula geral das equa��es de 2� grau:

    ax2 + bx + c = 0

    com a diferente de zero;

    Multiplicando ambos os membros por 4a:

    4a2x2 + 4abx + 4ac = 0;

    Somando b2 em ambos os membros:

    4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2;

    Reagrupando:

    4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac

    O primeiro membro � um trin�mio quadrado perfeito (2ax + b)2 = b2 - 4ac

    Tirando a raiz quadrada dos dois membros e colocando a possibilidade de uma raiz negativa e uma positiva ()

    : (2ax + b) =

    Isolando a inc�gnita x

    2ax = -b

    Como desde o in�cio a � diferente de zero, essa f�rmula nunca ser� dividida por zero. Ela � conhecida como f�rmula de Bhaskara.

  • *Carlos Alberto Campagner � engenheiro mec�nico, com mestrado em mec�nica, professor de p�s-gradua��o e consultor de inform�tica.
    Os textos publicados antes de 1� de janeiro de 2009 n�o seguem o novo Acordo Ortogr�fico da L�ngua Portuguesa. A grafia vigente at� ent�o e a da reforma ortogr�fica ser�o aceitas at� 2012

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