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Matem�tica

Conjuntos num�ricos

Respostas aos problemas da realidade

Michele Viana Debus de Fran�a*
Especial para a P�gina 3 Pedagogia & Comunica��o
Todos os n�meros que conhecemos podem ser divididos em grupos segundo caracter�sticas comuns entre eles, isto �, os n�meros est�o agrupados em conjuntos - os conjuntos num�ricos.

O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, � o conjunto dos n�meros naturais. Ele � formado por n�meros inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos os n�meros naturais.

Representa��o: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Muita gente acharia a Matem�tica bem menos complicada se existissem s� esses n�meros!

Por�m, esse conjunto � limitado para algumas coisas, isto �, existem alguns problemas que ele n�o "consegue resolver". Tente, por exemplo, achar um sucessor e um antecessor natural para cada um desses n�meros. O zero n�o tem antecessor natural! Outra coisa: � sempre poss�vel subtrair dois n�meros naturais e achar outro n�mero natural? A resposta � "n�o". Basta tentar fazer 3 - 4.

Assim, � necess�rio utilizar outros n�meros. Em nosso cotidiano, outras quantidades aparecem e precisam ser representadas, como um saldo negativo no banco ou uma varia��o negativa de temperatura.

O conjunto que soluciona esses problemas � o dos n�meros inteiros. Ele � formado pelos inteiros negativos, positivos e o zero. Continua "andando" de uma em uma unidade, mas agora todos os seus componentes t�m sucessor e antecessor, e � poss�vel fazer qualquer subtra��o entre eles, pois o resultado ser� sempre inteiro.

Representa��o: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

No entanto, como o conjunto dos n�meros naturais, ele tem os seus "probleminhas". N�o � poss�vel sempre dividir um n�mero inteiro por outro e o resultado ser inteiro. Se tentarmos dividir 3 por 2, por exemplo, o resultado n�o ser� exato, n�o ser� inteiro. Logo, esse conjunto n�o serve ainda para representar todas as quantidades existentes. Nosso sistema monet�rio, com centavos, n�o pode ser representado s� com n�meros inteiros. A simples quantia de R$ 1,50 n�o � um n�mero inteiro.

� necess�rio, ent�o, outro conjunto: o dos n�meros racionais. Esses n�meros s�o os resultados de divis�es exatas e inexatas, ou seja, est�o inclu�dos os n�meros inteiros, os decimais, as fra��es, as d�zimas peri�dicas e pode ser definido como o conjunto dos n�meros que podem ser escritos na forma de fra��o.

Representa��o: =
Exemplos de n�meros racionais: 0; 1,23; 0, 3333...; �; -4; 13; etc.

Os matem�ticos de antigamente chegaram a aceitar que esses n�meros fossem perfeitos, que n�o houvesse nenhum problema sem solu��o para eles. Mas foram surpreendidos com o seguinte questionamento: qual � a medida da diagonal do quadrado de lado 1?

P�gina 3


A diagonal e os lados do quadrado formam um tri�ngulo ret�ngulo, no qual � poss�vel aplicar o teorema de Pit�goras:

P�gina 3

A pergunta aqui, na verdade �: qual � o n�mero racional que, elevado ao quadrado, resulta em 2? A resposta �: n�o existe n�mero racional que, elevado ao quadrado, resulte em 2, nem em 3, nem em 5 e muitos outros.

O n�mero que soluciona esse problema � a raiz quadrada de dois. Esse n�mero n�o � racional, pois possui infinitas casas decimais, as quais n�o constituem uma d�zima, logo n�o pode ser escrito na forma de fra��o.

Surge, ent�o, um novo conjunto - o dos n�meros irracionais. Esse conjunto � constitu�do, basicamente, pelas ra�zes n�o-exatas, mas seu mais famoso integrante � o n�mero , seguido do n�mero e.

Assim, os n�meros que fazem parte do conjunto dos n�meros irracionais n�o podem ser escritos na forma de fra��o, logo n�o s�o racionais, ao contr�rio dos conjuntos anteriores, pois os naturais est�o contidos nos inteiros - e esses, por sua vez, est�o contidos nos racionais.

A uni�o dos irracionais com os racionais forma o conjunto dos n�meros reais (R) , os quais resolvem quase todo tipo de problema. Isso mesmo: quase todos os problemas, pois existe uma quest�o que ainda fica em aberto: qual o n�mero real que, elevado ao quadrado, resulta em um n�mero negativo?

Exemplo: qual o n�mero que, elevado ao quadrado, resulta em -4?

Poder�amos pensar no -2, mas (-2).(-2) = 4 e, com 2.2 acontece a mesma coisa. Logo, � preciso um novo conjunto: o dos n�meros complexos (C) , baseados na unidade imagin�ria . A resposta da pergunta anterior �: o n�mero que elevado ao quadrado resulta em -4 � 2i.

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Enfim, ainda n�o existe um problema proposto que um elemento desse conjunto n�o consiga resolver.

Podemos representar os conjuntos num�ricos por meio de um diagrama:

P�gina 3

� importante notar a representa��o dos irracionais, cuja forma mais correta � R - Q, ou seja, os reais menos os racionais.
*Michele Viana Debus de Fran�a � licenciada em matem�tica pela USP e mestre em educa��o matem�tica pela PUC-SP.
Os textos publicados antes de 1� de janeiro de 2009 n�o seguem o novo Acordo Ortogr�fico da L�ngua Portuguesa. A grafia vigente at� ent�o e a da reforma ortogr�fica ser�o aceitas at� 2012

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