Enem - Cálculo de custos - Relação entre custo e volume

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Neste artigo analisaremos a Questão 59 da prova amarela de matemática do Enem 2006. Trata-se de uma questão interessante: na confecção de dois moldes cilíndricos, que serão preenchidos com parafina, são usados cartões retangulares com a mesma medida, mas com posições trocadas (a altura de um passa a ser a largura do outro - e vice-versa).

O problema nos desafia a compararmos os custos das velas, de acordo com esses dois moldes, a partir da informação de que o custo é diretamente proporcional ao volume da parafina.

Dessa forma, torna-se necessário o cálculo do volume de cada cilindro formado pelo cartão, para que se possa efetuar a comparação dos volumes e, por consequência, também dos custos.

Vamos começar essa comparação pela altura de cada cilindro, que é obtida a partir da posição dos cartões. O tipo 1 tem uma altura de 10 cm, enquanto que o tipo 2 possui a medida de 20 cm. Como a solução será dada em função da comparação dos dois volumes, é interessante verificar quantas vezes uma altura é maior ou menor que a outra:

$\frac{H_{I}}{H_{II}} = \frac{10 cm}{20 cm} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{H_{I}}{H_{II}} = \frac{1}{2} \Rightarrow H_{II} = 2 \times H_{I}$

\frac{H_{I}}{H_{II}} = \frac{10 cm}{20 cm} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{H_{I}}{H_{II}} = \frac{1}{2} \Rightarrow H_{II} = 2 \times H_{I}

O próximo passo é o cálculo da área da base de cada cilindro. Nesse caso, por se tratar de um círculo, precisamos ter a medida do raio, informação que pode ser obtida verificando-se o comprimento de um dos lados do cartão, que é justamente o perímetro do círculo (P) - e que forma a base:

$P = 2 \times π \times R$
$20 cm = 2 \times π \times R_{II}$
$10 cm = 2 \times π \times R_{II}$

P = 2 \times π \times R

20 cm = 2 \times π \times R_{II}

10 cm = 2 \times π \times R_{II}

Poderíamos calcular o raio de cada molde, mas, para evitar perda de tempo, dividimos um perímetro pelo outro para saber quantas vezes o raio da base do cilindro 1 é maior do que o do cilindro 2:

${\begin{matrix} P_{I} = 2 \times π \times R_{I} \\ P_{II} = 2 \times π \times R_{II} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} 20 cm = 2 \times π \times R_{I} \\ 10 cm = 2 \times π \times R_{II} \end{matrix} \Rightarrow \frac{20 cm}{10 cm} = \frac{2 \times π \times R_{I}}{2 \times π \times R_{II}} \Rightarrow 2 = \frac{R_{I}}{R_{II}} \Rightarrow R_{I} = 2 \times R_{II}$

{\begin{matrix} P_{I} = 2 \times π \times R_{I} \\ P_{II} = 2 \times π \times R_{II} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} 20 cm = 2 \times π \times R_{I} \\ 10 cm = 2 \times π \times R_{II} \end{matrix} \Rightarrow \frac{20 cm}{10 cm} = \frac{2 \times π \times R_{I}}{2 \times π \times R_{II}} \Rightarrow 2 = \frac{R_{I}}{R_{II}} \Rightarrow R_{I} = 2 \times R_{II}

Assim, com os resultados dessas comparações, podemos finalmente calcular quantas vezes o volume do molde 1 é maior ou menor que o volume do molde 2, lembrando sempre que as expressões para se calcular a área de um círculo e o volume de um cilindro são, respectivamente:

$Α_{círculo} = π \times R^{2}$
$V = Α_{Β} \times Η sendo que Α_{Β} é a área da base.$

Α_{círculo} = π \times R^{2}

V = Α_{Β} \times Η sendo que Α_{Β} é a área da base.

Agora, é só prestar atenção nas substituições:

$V_{cilindro} = (π \times R^{2}) \times Η$
${\begin{matrix} V_{I} = π \times R_{I}^{2} \times Η_{I} \\ V_{II} = π \times R_{II}^{2} \times Η_{II} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} V_{I} = π \times {(2 \times R_{II})}^{2} \times Η_{I} \\ V_{II} = π \times {R^{2}}_{II} \times (2 \times Η_{I}) \end{matrix}$
${\begin{matrix} _{\frac{V_{I}}{V_{II}} = \frac{π \times 4 \times {R^{2}}_{II} \times Η_{I}}{π \times {R^{2}}_{II} \times 2 \times Η_{I}} = 2 \Rightarrow V_{I} = 2 \times V_{II}} \end{matrix}$

V_{cilindro} = (π \times R^{2}) \times Η

{\begin{matrix} V_{I} = π \times R_{I}^{2} \times Η_{I} \\ V_{II} = π \times R_{II}^{2} \times Η_{II} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} V_{I} = π \times {(2 \times R_{II})}^{2} \times Η_{I} \\ V_{II} = π \times {R^{2}}_{II} \times (2 \times Η_{I}) \end{matrix}

{\begin{matrix} _{\frac{V_{I}}{V_{II}} = \frac{π \times 4 \times {R^{2}}_{II} \times Η_{I}}{π \times {R^{2}}_{II} \times 2 \times Η_{I}} = 2 \Rightarrow V_{I} = 2 \times V_{II}} \end{matrix}

O custo (C) da parafina, como foi informado pelo problema, pode ser interpretado como o preço da parafina por unidade de volume. Estabelecendo a razão entre os dois volumes, concluímos que volume 1 é o dobro do volume 2, tendo como consequência o mesmo resultado para a razão entre os custos.

Se a vela 1 ocupa um volume duas vezes maior do que a vela 2, então o custo será também duas vezes maior. Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

Observações

Um aspecto interessante que precisa ser ressaltado é que, apesar de os dois cartões possuírem medidas e áreas iguais, produzem volumes diferentes. Trata-se de um fato que deve ser observado, em função da falsa impressão de que os volumes dos moldes pudessem ficar iguais, por algum tipo de compensação, ao invertermos a posição do cartão.

Realmente, na inversão do cartão de 1 para 2 temos um aumento na altura do cilindro, com a redução na área da base; no entanto, essa relação não garante a compensação para manter o volume constante.

Outro aspecto importante é imaginarmos a possibilidade de o custo da parafina ser diretamente proporcional à massa (e não em relação ao volume). O que mudaria? Teríamos de lembrar que a densidade (D) é definida, para qualquer corpo, como a razão da massa (m) pelo volume (V), descrita pela expressão D = m / V. Assim, se considerarmos D_p como a densidade da parafina, então podemos construir as relações necessárias:

$D_{P} = \frac{m_{II}}{V_{II}} \Rightarrow V_{II} = \frac{m_{II}}{D_{P}}$
$D_{P} = \frac{m_{I}}{V_{I}} \Rightarrow V_{I} = \frac{m_{I}}{D_{P}}$
$\frac{V_{I}}{V_{II}} = \frac{_{\frac{m_{I}}{D_{P}}}}{\frac{m_{II}}{D_{P}}} \Rightarrow \frac{V_{I}}{V_{II}} = \frac{m_{I}}{D_{P}} \times \frac{D_{P}}{m_{II}} \Rightarrow \frac{V_{I}}{V_{II}} = \frac{m_{I}}{m_{II}}$
$2 = \frac{m_{I}}{m_{II}} \Rightarrow m_{I} = 2 \times m_{II}$

D_{P} = \frac{m_{II}}{V_{II}} \Rightarrow V_{II} = \frac{m_{II}}{D_{P}}

D_{P} = \frac{m_{I}}{V_{I}} \Rightarrow V_{I} = \frac{m_{I}}{D_{P}}

\frac{V_{I}}{V_{II}} = \frac{_{\frac{m_{I}}{D_{P}}}}{\frac{m_{II}}{D_{P}}} \Rightarrow \frac{V_{I}}{V_{II}} = \frac{m_{I}}{D_{P}} \times \frac{D_{P}}{m_{II}} \Rightarrow \frac{V_{I}}{V_{II}} = \frac{m_{I}}{m_{II}}

2 = \frac{m_{I}}{m_{II}} \Rightarrow m_{I} = 2 \times m_{II}

Como vemos, a relação entre os custos se mantém, já que a densidade da parafina é a mesma para os dois tipos de molde. A proporção, portanto, não se altera. O custo do tipo 1 continua sendo o dobro do tipo 2.

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