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Matem�tica

Fra��o geratriz

Como achar a fra��o geratriz de uma d�zima peri�dica?

Michele Viana Debus de Fran�a*
Especial para a P�gina 3 Pedagogia & Comunica��o
A fra��o geratriz � aquela que d� origem a uma d�zima peri�dica.

Aqui, vamos dar dicas de como achar as fra��es geratrizes de d�zimas peri�dicas simples e compostas, de uma forma bem pr�tica.

D�zimas peri�dicas simples

a) 0,2222...
Per�odo: 2

Coloca-se o per�odo no numerador da fra��o e, para cada algarismo dele, coloca-se um algarismo 9 no denominador.




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Nesse caso, temos uma d�zima simples e a parte inteira diferente de zero.

Uma estrat�gia � separar parte inteira e parte decimal:




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D�zimas peri�dicas compostas

a) 0,27777...
Aqui, a dica � um pouco diferente: para cada algarismo do per�odo ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiper�odo se coloca um algarismo zero, tamb�m no denominador.

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiper�odo e per�odo) - (parte inteira com antiper�odo)

Assim:




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b) 1,64444...




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c) 21,308888... (o per�odo tem 1 algarismo e o antiper�odo tem 2 algarismos)




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d) 2,4732121212... (o per�odo tem 2 algarismos e o antiper�odo tem 3 algarismos)




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Por que d� certo?

Veja a explica��o na forma como geralmente se aprende a achar a fra��o geratriz na escola:

Chama-se a fra��o geratriz de x:




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Para achar o valor de x, encontram-se m�ltiplos dele com apenas o per�odo na parte decimal




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E subtraem-se as duas igualdades




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Assim, cria-se uma equa��o e elimina-se a parte infinita dos n�meros envolvidos, achando-se a fra��o geratriz.

Note que, no m�todo mais pr�tico, a conta sugerida � a mesma que aparece na equa��o: 164 - 16, e o denominador fica exatamente com os mesmos algarismos.

No caso do exemplo D, deve-se multiplicar x por n�meros ainda maiores, para se achar a mesma parte decimal nos dois n�meros a serem subtra�dos:




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*Michele Viana Debus de Fran�a � licenciada em matem�tica pela USP e mestre em educa��o matem�tica pela PUC-SP.
Os textos publicados antes de 1� de janeiro de 2009 n�o seguem o novo Acordo Ortogr�fico da L�ngua Portuguesa. A grafia vigente at� ent�o e a da reforma ortogr�fica ser�o aceitas at� 2012

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