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Matem�tica

Fun��es (1)

Caracter�sticas

Michele Viana Debus de Fran�a*
Especial para a P�gina 3 Pedagogia & Comunica��o
Vamos estudar algumas caracter�sticas das fun��es.

1) Crescimento e decrescimento

Observe as seguintes fun��es:

I)


P�gina 3


Nesta fun��o, temos os seguintes valores:

para x = 1, y = 1;
para x = 2, y = 1,75;

e assim por diante. � medida que os valores de x aumentam, os valores de y tamb�m aumentam, e isso acontece ao longo de toda a fun��o. Assim, podemos classificar a fun��o como crescente.

II)


P�gina 3


Nesta fun��o, temos os seguintes valores:

para x = -1, y = 1;
para x = 0, y = 0,5;

e assim por diante. � medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem, e isso acontece ao longo de toda a fun��o. Assim, podemos classificar a fun��o como decrescente.

III)


P�gina 3


Observe esta fun��o.

� crescente quando x < 0;
� constante para valores de x que obede�am � condi��o 0 < x < 2;
e � decrescente quando x > 2.

2) Ra�zes de uma fun��o

Os valores de x que anulam uma fun��o, ou seja, para os quais f (x) = 0, s�o chamados de ra�zes da fun��o. Assim, para acharmos as ra�zes de uma fun��o, devemos resolver a equa��o f (x) = 0.

Exemplos:

A)


P�gina 3


Resolvendo-se a equa��o f (x) = - x2 + 5x - 6 = 0, obtemos as ra�zes 2 e 3, como podemos observar no gr�fico.

As ra�zes da fun��o s�o os valores onde o gr�fico intercepta o eixo horizontal, o eixo das abscissas.

B)


P�gina 3


A fun��o tem as seguintes ra�zes no intervalo , conforme observamos no gr�fico:


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Encontramos esses valores considerando que, se , ent�o x = 0 ou .

3) Estudo do sinal de uma fun��o
Quando estudamos os conceitos iniciais sobre fun��es de R em R, aprendemos que os valores de y s�o fun��es dos valores de x. Isso significa que os valores de y s�o obtidos a partir de valores de x. Em representa��o matem�tica, .

Assim, consideremos o gr�fico de uma fun��o tra�ado no plano cartesiano. No eixo y, s�o encontrados os valores da fun��o. Logo, para estudarmos o sinal da fun��o, devemos observar o eixo vertical, o eixo das ordenadas.


P�gina 3


Acima do eixo x, os valores de y s�o positivos; abaixo, os valores s�o negativos; e sobre o eixo x, o valor de y � zero. Considerando que ,o sinal da fun��o ser� determinado da mesma forma.

Portanto, no intervalo em que a fun��o estiver acima do eixo x, ela � positiva; quando estiver abaixo do eixo x, � negativa. Nos pontos em que o gr�fico intercepta o eixo x, a fun��o � nula; como j� dissemos antes, esses pontos s�o chamados de ra�zes da fun��o.

Exemplo:


P�gina 3


� poss�vel observar as tr�s caracter�sticas juntas. Podemos, ao mesmo tempo, encontrar as ra�zes, analisar o crescimento e o decrescimento da fun��o, e estudar seu sinal.

No exemplo acima, as ra�zes s�o


P�gina 3


Quanto ao crescimento e decrescimento, a fun��o � crescente at� x = -2 e entre 0 e 2, aproximadamente. � decrescente entre -2 e 0 e tamb�m ap�s x = 2, aproximadamente.

Quanto ao sinal, a fun��o � positiva para e ; negativa para e ; e nula nas ra�zes.

� importante n�o confundir crescimento e decrescimento de uma fun��o com o estudo do sinal. No exemplo, observe que a fun��o � crescente e negativa at� a primeira raiz, ou seja, a fun��o � crescente e negativa para .

*Michele Viana Debus de Fran�a � licenciada em matem�tica pela USP e mestre em educa��o matem�tica pela PUC-SP
Os textos publicados antes de 1� de janeiro de 2009 n�o seguem o novo Acordo Ortogr�fico da L�ngua Portuguesa. A grafia vigente at� ent�o e a da reforma ortogr�fica ser�o aceitas at� 2012

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