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Matem�tica

Futebol e matem�tica

A geometria do p�nalti

Antonio Rodrigues Neto*
Especial para a P�gina 3 Pedagogia & Comunica��o
No campo de futebol, dentro da grande �rea, h� uma marca a 11 metros do ponto m�dio da linha do gol, para que seja feita a cobran�a de uma falta chamada "p�nalti". O goleiro fica sobre essa linha, entre duas traves que s�o paralelas, com uma dist�ncia entre elas de 7,32 metros, e sob uma terceira trave, cuja borda fica a 2,44 metros do solo.

Com essas informa��es, para realizar uma an�lise geom�trica utilizaremos a cor azul para as traves verticais, a cor laranja para a trave que fica sobre a cabe�a do goleiro e a cor vermelha para representar a dist�ncia de 11 metros da marca do p�nalti at� a linha do gol:

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A cobran�a usual do p�nalti � feita por meio de um tiro direto, e uma das consequ�ncias � que a trajet�ria da bola, em fun��o da dist�ncia e da velocidade, pode ser considerada, em grande parte das experi�ncias, uma linha reta. Assim, faremos a visualiza��o da vista lateral desses chutes, pontilhando as trajet�rias das bolas em dire��o ao gol:

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No esquema dessa vista lateral, identificamos v�rios tri�ngulos ret�ngulos, nos quais a linha vermelha e a trave azul s�o os catetos, enquanto que a linha pontilhada � a hipotenusa. Das tr�s medidas, somente o cateto de cor vermelha � constante, com valor igual a 11 metros, enquanto que as outras duas mudam de valor conforme o �ngulo formado entre a linha pontilhada e a linha vermelha.

Para organizar o nosso estudo, representaremos esse �ngulo pela letra G; a medida da altura que a bola passa pela trave por y (cor azul); e o comprimento da linha pontilhada por x:

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As rela��es matem�ticas entre essas medidas, sejam elas constantes ou vari�veis, podem ser exploradas a partir das defini��es do cosseno, do seno e da tangente, tendo como refer�ncia o �ngulo G. No entanto, se quisermos descobrir o valor aproximado de G, para que a bola passe rente � parte inferior da trave que se encontra sobre a cabe�a do goleiro, perceberemos que, para essa situa��o limite, a tangente ser� o melhor recurso, pois evita o c�lculo da hipotenusa:

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Com a informa��o de que o valor m�ximo de y � 2,44 metros, calculamos o valor da tangente de G e, logo depois, o valor aproximado de G (por meio de uma tabela):

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Conclu�mos que o �ngulo G dever� estar no intervalo de 0o (bola rasteira) chegando ao valor m�ximo aproximado de 13o no plano vertical da vista lateral. Os valores poss�veis desses �ngulos s�o interpretados tamb�m como as linhas de latitude da bola em dire��o ao gol. Podemos indicar alguns desses valores no nosso desenho, por meio de linhas tamb�m pontilhadas:

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Vamos agora analisar essa cobran�a de p�nalti vista de cima. Dessa posi��o vemos a trave cor laranja, que fica sobre a cabe�a do goleiro, e a linha vermelha, que representa a dist�ncia da marca do p�nalti at� o gol. Novamente identificamos v�rios tri�ngulos ret�ngulos, s� que, dessa vez, em um plano horizontal, e em regi�es sim�tricas, tendo a linha vermelha como eixo.

Para esta nova posi��o, definiremos como K o �ngulo formado entre a linha pontilhada da trajet�ria da bola e a linha vermelha. Assim, podemos escrever a tangente desse �ngulo, n�o esquecendo que deveremos explorar tanto do lado esquerdo como do lado direito do jogador que est� cobrando o p�nalti.

Qual ser� o valor aproximado do �ngulo K para o jogador marcar um belo gol rente � trave direita do goleiro? O primeiro passo � interpretar o valor m�ximo do cateto oposto a K, que, nessa condi��o tamb�m limite, ser� a metade do tamanho da trave laranja:

7,32 : 2 = 3,66 m

O valor da tangente de K que ser� a raz�o do cateto adjacente, igual a 11 metros, pelo valor m�ximo do cateto oposto, que, como vimos, � igual a 3,66 m. Com mesmo procedimento anterior, calculamos o valor da tg K e, por meio de uma tabela, achamos o valor aproximado de K:

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Assim, esse �ngulo K poder� ser explorado tanto do lado esquerdo como do lado direito de quem est� cobrando o p�nalti, no intervalo de 0o a 19o. Essas medidas tamb�m s�o interpretadas como longitude da bola ao ser chutada a gol. Novamente indicaremos parte desses valores por meio de linhas pontilhadas:

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Com l�pis e papel, agora voc� pode explorar os conceitos de latitude e longitude, para se divertir com as poss�veis posi��es da bola colocada pelo cobrador do p�nalti. Ser� que em uma latitude de 10o e longitude 17o � direita, o goleiro defende?

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*Antonio Rodrigues Neto, professor de matem�tica no ensino fundamental e superior, � mestre em educa��o pela USP e autor do livro "Geometria e Est�tica: experi�ncias com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP.
Os textos publicados antes de 1� de janeiro de 2009 n�o seguem o novo Acordo Ortogr�fico da L�ngua Portuguesa. A grafia vigente at� ent�o e a da reforma ortogr�fica ser�o aceitas at� 2012

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