A raz�o entre o
per�metro de um c�rculo e o seu
di�metro produz o n�mero
PI. � um n�mero que mobilizou e ainda mobiliza muitos matem�ticos. A principal curiosidade, no caso do PI, � a obten��o de um valor sempre igual e constante, adicionando-se tamb�m um mist�rio: o de n�o podermos conhecer a �ltima casa. Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela letra
(do alfabeto grego). Foi uma estrat�gia para simplificar o registro.
Voltando ao procedimento matem�tico, que produziu essa misteriosa constante, poderemos igualar as raz�es entre os per�metros dos c�rculos e os seus respectivos di�metros. Essa proporcionalidade permite escrever que o per�metro de uma roda gigante, dividido pelo seu di�metro, � igual ao per�metro de uma moeda dividido pelo di�metro dessa mesma moeda:
Na Babil�nia, o valor do
era considerado igual a tr�s e hoje podemos escrev�-lo com muitas casas depois da v�rgula, com as retic�ncias informando que ele n�o terminou - e n�o terminar�:
3, 14159265358979323846...
Nos livros did�ticos, esse n�mero � arredondado para 3,1416 ou 3,14, permitindo c�lculos aproximados. No entanto, n�o podemos esquecer que nunca poderemos afirmar que o valor do
� igual a 3,14. Por isso, � essencial que, no c�lculo do per�metro, a letra grega apare�a para evitar erros:
O per�metro de uma moeda com 1,5 cm de di�metro pode ser calculado multiplicando-se o di�metro dessa moeda pela constante
. Poderemos registrar como P = 1,5.
cm. E se quisermos conferir esse per�metro, contornando a borda dessa moeda com uma linha de costura, teremos que calcular esse per�metro considerando um determinado valor para
. Nesse caso, podemos multiplicar 1,5 cm por 3,14, fazendo P = 1,5 x 3,14 - que se aproximar� bastante do comprimento da linha. E, portanto, do per�metro.
Se o raio de uma roda de bicicleta � igual a 20 cm, ent�o qual � o comprimento do pneu que contorna essa roda? Responderemos pelo per�metro e obteremos um valor te�rico de P = 2 x (20 cm) x
= 40
cm ou valor experimental de P = 2 x (20 cm) x 3,14 = 125,6 cm.
Fracionando o c�rculo para calcular a sua �rea
O n�mero
n�o aparece somente na f�rmula do per�metro do c�rculo. A
�rea do c�rculo ser� um conceito que colocar� novamente essa constante em uma das f�rmulas mais essenciais da matem�tica.
Essa f�rmula � constru�da
fracionando-se o c�rculo em uma infinidade de tri�ngulos is�sceles, sendo que dois lados dever�o ter a mesma medida do raio. Al�m disso, com a preocupa��o de que esses tri�ngulos sejam iguais, com a medida da base sendo um pequeno segmento do per�metro desse c�rculo:
Dois desses tri�ngulos poder�o formar um pequeno paralelogramo, com uma inclina��o bem pequena tendendo a um ret�ngulo. Quanto menor for a medida da base desses tri�ngulos, que fracionaram o c�rculo, mais chance teremos de aproxim�-los do formato de um ret�ngulo com altura igual ao raio do c�rculo. Dever�o ser colocados em pares, um encostado no outro:
A
�rea de um ret�ngulo � calculada multiplicando-se a medida da sua base pela medida da sua altura. Como cada ret�ngulo � formado por dois tri�ngulos, com a base sendo
um peda�o do per�metro do c�rculo, teremos que imaginar a fragmenta��o desse c�rculo em uma quantidade par de tri�ngulos, para que possam ser encaixados dois a dois, sem nenhuma sobra.
Esse encaixe, nesse tipo de quebra-cabe�a, formar� um ret�ngulo maior com base igual a (
) x (R) e altura R. � o procedimento de encaixar dois a dois que far� a base do ret�ngulo ter a metade do per�metro do c�rculo:
Essa base, multiplicada pela altura R do ret�ngulo, ser� (
) x (R) x (R) e indicar� a �rea desse ret�ngulo, que poder� ser escrito como
raio ao quadrado multiplicado pelo n�mero. Resultado que demonstra que um c�rculo pode ser transformado em um ret�ngulo, para que a sua �rea seja deduzida e calculada.
Assim, a f�rmula da �rea do c�rculo poder� ser escrita como:
A roda da bicicleta, de que falamos acima, com raio igual a 20 cm, al�m de ter um per�metro igual a 125,6 cm, ter� uma �rea igual a (20 cm) x (20 cm) x (
), isto � 400
cm2. Al�m disso, poder� ter um valor aproximado se considerarmos um valor num�rico para
: 400 x 3,14 = 1256
cm2.
S�o in�meros os problemas que surgem na matem�tica envolvendo o per�metro e a �rea de um c�rculo. No entanto, talvez o mais importante � percebermos que n�o podemos estudar geometria sem investigar o n�mero
.
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