A razão entre o
perímetro de um círculo e o seu
diâmetro produz o número
PI. É um número que mobilizou e ainda mobiliza muitos matemáticos. A principal curiosidade, no caso do PI, é a obtenção de um valor sempre igual e constante, adicionando-se também um mistério: o de não podermos conhecer a última casa. Por esse motivo, o PI passou a ser representado pela letra
(do alfabeto grego). Foi uma estratégia para simplificar o registro.
Voltando ao procedimento matemático, que produziu essa misteriosa constante, poderemos igualar as razões entre os perímetros dos círculos e os seus respectivos diâmetros. Essa proporcionalidade permite escrever que o perímetro de uma roda gigante, dividido pelo seu diâmetro, é igual ao perímetro de uma moeda dividido pelo diâmetro dessa mesma moeda:
Na Babilônia, o valor do
era considerado igual a três e hoje podemos escrevê-lo com muitas casas depois da vírgula, com as reticências informando que ele não terminou - e não terminará:
3, 14159265358979323846...
Nos livros didáticos, esse número é arredondado para 3,1416 ou 3,14, permitindo cálculos aproximados. No entanto, não podemos esquecer que nunca poderemos afirmar que o valor do
é igual a 3,14. Por isso, é essencial que, no cálculo do perímetro, a letra grega apareça para evitar erros:
O perímetro de uma moeda com 1,5 cm de diâmetro pode ser calculado multiplicando-se o diâmetro dessa moeda pela constante
. Poderemos registrar como P = 1,5.
cm. E se quisermos conferir esse perímetro, contornando a borda dessa moeda com uma linha de costura, teremos que calcular esse perímetro considerando um determinado valor para
. Nesse caso, podemos multiplicar 1,5 cm por 3,14, fazendo P = 1,5 x 3,14 - que se aproximará bastante do comprimento da linha. E, portanto, do perímetro.
Se o raio de uma roda de bicicleta é igual a 20 cm, então qual é o comprimento do pneu que contorna essa roda? Responderemos pelo perímetro e obteremos um valor teórico de P = 2 x (20 cm) x
= 40
cm ou valor experimental de P = 2 x (20 cm) x 3,14 = 125,6 cm.
Fracionando o círculo para calcular a sua área
O número
não aparece somente na fórmula do perímetro do círculo. A
área do círculo será um conceito que colocará novamente essa constante em uma das fórmulas mais essenciais da matemática.
Essa fórmula é construída
fracionando-se o círculo em uma infinidade de triângulos isósceles, sendo que dois lados deverão ter a mesma medida do raio. Além disso, com a preocupação de que esses triângulos sejam iguais, com a medida da base sendo um pequeno segmento do perímetro desse círculo:
Dois desses triângulos poderão formar um pequeno paralelogramo, com uma inclinação bem pequena tendendo a um retângulo. Quanto menor for a medida da base desses triângulos, que fracionaram o círculo, mais chance teremos de aproximá-los do formato de um retângulo com altura igual ao raio do círculo. Deverão ser colocados em pares, um encostado no outro:
A
área de um retângulo é calculada multiplicando-se a medida da sua base pela medida da sua altura. Como cada retângulo é formado por dois triângulos, com a base sendo
um pedaço do perímetro do círculo, teremos que imaginar a fragmentação desse círculo em uma quantidade par de triângulos, para que possam ser encaixados dois a dois, sem nenhuma sobra.
Esse encaixe, nesse tipo de quebra-cabeça, formará um retângulo maior com base igual a (
) x (R) e altura R. É o procedimento de encaixar dois a dois que fará a base do retângulo ter a metade do perímetro do círculo:
Essa base, multiplicada pela altura R do retângulo, será (
) x (R) x (R) e indicará a área desse retângulo, que poderá ser escrito como
raio ao quadrado multiplicado pelo número. Resultado que demonstra que um círculo pode ser transformado em um retângulo, para que a sua área seja deduzida e calculada.
Assim, a fórmula da área do círculo poderá ser escrita como:
A roda da bicicleta, de que falamos acima, com raio igual a 20 cm, além de ter um perímetro igual a 125,6 cm, terá uma área igual a (20 cm) x (20 cm) x (
), isto é 400
cm2. Além disso, poderá ter um valor aproximado se considerarmos um valor numérico para
: 400 x 3,14 = 1256
cm2.
São inúmeros os problemas que surgem na matemática envolvendo o perímetro e a área de um círculo. No entanto, talvez o mais importante é percebermos que não podemos estudar geometria sem investigar o número
.
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