Definição de domínio e imagem: Função inversa e composta

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Definição de domínio e imagem

Toda função f(x) pode ser representada num sistema cartesiano de eixos por um conjunto de pontos (definidos pelas coordenadas - abscissas x e ordenadas y), originados pela lei de associação específica daquela função. Esse conjunto de pontos pode ou não gerar uma curva característica possível de ser definida algebricamente, como uma reta, uma parábola, etc.

O domínio é o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), ou seja, a região do universo em que a função pode ser definida. A imagem é o conjunto dos valores das ordenadas (y) resultantes da aplicação da função f(x), ou seja, da lei de associação mencionada.

Por exemplo, vejamos o gráfico abaixo:

Supondo que essa figura seja a representação gráfica de uma função (f) definida dentro do universo dos números reais (R).

O conjunto domínio será constituído pelas abscissas:

 

 

 

 

 

 

E o conjunto imagem:

D f = { x ? | 3 ? x ? 9 }

Função inversa e função composta

Entendemos por função uma lei de associação entre dois números x e y de modo que para cada valor de x exista um e somente um valor de y.

A função inversaf-1(x) de uma dada função f(x) é aquela cuja lei de formação é inversa da lei de formação de f(x). A função inversa, para que exista, deve satisfazer a condição acima.

Por exemplo, dada a função f(x) = 2x - 1 para se encontrar a sua inversa, caso exista, procede-se da seguinte maneira:

Im f = { y ? | 5 x 7 }

Função composta de duas funções f(x) e g(x) é uma função que utiliza o conjunto imagem da primeira como conjunto domínio da segunda, formando uma terceira função do tipo f(g(x)).

Por exemplo:

y = 2 x - 1 substitui-se a variável das ordenadas por y
2 x = y + 1
x = y + 1 2 encontra-se a nova lei de associação invertendo-se a relação y = x + 1 2
f -1 x = x + 1 2 notação para a função inversa

Enquanto a primeira eleva a variável ao quadrado, a segunda multiplica a variável por 3 e soma 1.

Seguindo a lei de formação, para obtermos f(g(x)) tomamos a segunda função e a elevamos ao quadrado, como se ela fosse a variável. Logo:

f x = x 2 e g x = 3 x + 1

A partir de f(x) podemos definir também outra função composta: g(f(x)). Neste caso, a sequência será invertida: primeiro multiplicamos a função f(x) por 3, e em seguida somamos 1, obtendo:

f g x = 3 x + 1 2
g f x = 3 x 2 + 1

 

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, mestre, professor de pós-graduação, consultor de informática e autor do livro: Física no Cotidiano.



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