Equações modulares: Tipos e estratégias de resolução

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Sabemos que


 

 

 

 

 

Uma equação modular é aquela em que a incógnita "aparece dentro do módulo".

Vamos aqui apresentar alguns tipos de equações e suas estratégias de resolução.

Exemplo 1

| x | = 5

O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.

| x | = 5 x = 5 ou x = - 5 S = ± 5

Exemplo 2

| x + 1 | = 4

Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.

| x + 1 | = 4 x + 1 = 4 x = 3 ou x + 1 = - 4 x = - 5 S = - 5 , 3

Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:

| x + 1 | = 4 | x + 1 = 4 | x = - 5 x = 3 | - 5 + 1 | = 4 | 3 + 1 | = 4 | - 4 | = 4 | 4 | = 4

Exemplo 3

| x + 1 | = 2 x - 1

Aqui também se desmembra a equação, com o devido cuidado quanto ao sinal da expressão do segundo membro da igualdade.

resolução.

Exemplo 1

| x | = 5

O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.

| x | = 5 x = 5 ou x = - 5 S = ± 5

Exemplo 2

| x + 1 | = 4

Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.

| x + 1 | = 4 x + 1 = 4 x = 3 ou x + 1 = - 4 x = - 5 S = - 5 , 3

Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:

| x + 1 | = 4 | x + 1 = 4 | x = - 5 x = 3 | - 5 + 1 | = 4 | 3 + 1 | = 4 | - 4 | = 4 | 4 | = 4

Exemplo 3

| x + 1 | = 2 x - 1 x + 1 = 2 x - 1 1 + 1 = 2 x - x x = 2 ou x + 1 = - 2 x - 1 x + 1 = - 2 x + 1 x + 2 x = 1 - 1 3 x = 0 x = 0 S { 0 , 2 }

Logo, 0 e 2 são os valores que verificam as igualdades, quando colocados no lugar de x.

Exemplo 4

| 2 x - 1 | = - 5

Nesse caso, queremos saber qual o valor de x para que a expressão tenha módulo igual a -5. Pela definição, sabemos que o módulo não pode ser igual a um número negativo. Logo, não existe tal valor de x.
Portanto, S = {} .

Exemplo 5

| x 2 - 5 x + 8 | = 2

Exemplo 6

x 2 - 3 . | x | + 2 = 0

É bom lembrarmos uma das propriedades do módulo, segundo a qual

| x | 2 = | x 2 | = x 2

.

Logo, a equação pode ser reescrita da seguinte forma:

| x | 2 - 3 . | x | + 2 = 0

.
Agora, basta usar a técnica da substituição para facilitar a resolução.

| x | = y


 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mas ainda não encontramos a solução da equação. Devemos voltar à substituição feita anteriormente.

Portanto, o conjunto solução da equação é

S = ± 1 , ± 2

.

Exemplo 7

| x + 1 | = | 3 x - 7 |

Se, para eliminar cada módulo, desmembrarmos em dois casos, teremos quatro equações, porém com dois pares de equações repetidas. Assim, para facilitarmos a resolução, consideraremos dois casos:

 








































Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

titulo-box Shopping UOL

UOL Cursos Online

Todos os cursos