Função exponencial: Aplicações em biologia, química e matemática financeira

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos juros compostos, importantes na matemática financeira.

Vamos explorar um pouco algumas dessas aplicações.

1) Geralmente, o crescimento de determinados seres vivos microscópicos, como as bactérias, acontece exponencialmente. Dessa forma, é comum o uso de funções exponenciais relacionado a problemas dessa natureza.

Exemplos:

A) (PUC/MG - adaptada) - O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:

a ) 2 4 b ) 2 7 c ) 2 1 0 d ) 2 1 5 e ) 2 1 3

Resolução:

No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.

No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 16.

No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 = 32.

Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por n = 8 . 2 x .

Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será de n = 8 . 2 1 0 = 2 3 . 2 1 0 = 2 1 3 Resposta: E.

B) (UNISA) - Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por B t = 2 t 1 2 Isso significa que 5 dias após a hora zero o número de bactérias é:

a ) 1 0 2 4 b ) 1 1 2 0 c ) 5 1 2 d ) 2 0 e ) 2 3

Resolução:

5 dias após o início da hora zero representam um total de 5.24 = 120 horas.
Assim, B 1 2 0 = 2 1 2 0 1 2 = 2 1 0 = 1 0 2 4 Logo, o número de bactérias 5 dias após a hora zero será de 1024.

Resposta: A.

2) A decomposição ou desintegração de determinadas substâncias também acontece segundo um padrão exponencial. A chamada meia vida de uma substância é o tempo necessário para que ela reduza a sua massa pela metade. Eis aqui outro caso de aplicação das funções exponenciais.

Exemplo:

(Vunesp) - Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q t = K . 2 - 0 , 5 t , em que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a.

 

Resolução:

A função exponencial Q t = K . 2 - 0 , 5 t passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048).

Substituindo esses pontos na função, temos:

Q 0 = K . 2 - 0 , 5 . 0 = 2 0 4 8 K . 2 0 = 2 0 4 8 K = 2 0 4 8 Q a = K . 2 - 0 , 5 . a = 5 1 2 2 0 4 8 . 2 - 0 , 5 . a = 5 1 2 2 1 1 . 2 - 0 , 5 . a = 2 9 2 1 1 - 0 , 5 . a = 2 9 1 1 - 0 , 5 a = 9 2 = 0 , 5 a a = 4

 

3) O sistema de juros compostos também funciona de forma exponencial.

Exemplo:

O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa i, durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela relação M = C . 1 + i t

Considere um capital de R$ 10.000 aplicado a uma taxa de 12% ao ano durante 4 anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação?

Resolução:

Como foi dito, o montante, no regime de juros compostos, é dado por M = C . 1 + i t Assim, nesse exemplo, temos

M = 1 0 0 0 0 . 1 + 0 , 1 2 4 M = 1 0 0 0 0 . 1 , 1 2 4 M = 1 0 0 0 0 . 1 , 5 7 3 5 2 M = 1 5 7 3 5 , 2

Logo, serão resgatados, após a aplicação, R$ 15.735,20.

Michele Viana Debus de França, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

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