Raiz cúbica: Como calcular "na mão"

Maria Ângela Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Quanto vale a raiz cúbica de 8? Como você tem um cubo perfeito, o resultado é fácil (2). Mas e a raiz cúbica de 17? 1 7 3

Veja como aplicar um método iterativo (não confunda com interativo; esse adjetivo se refere a algo repetitivo e auto-alimentado) que calcula de maneira bem simples a raiz cúbica de um número positivo C, com boa aproximação. Acompanhe:

Dada a equação X³ - C = 0, é possível calcular a raiz cúbica aproximada de C usando a seguinte expressão:

χ i + 1 = 1 3 × 2 χ i + c χ i 2

Esse é um processo iterativo baseado numa prática de cálculo numérico chamado método de Newton.

Quem são esses xi e xi+1 que aparecem nessa expressão?

Bem, se você tiver xi , pode calcular xi+1 através da própria expressão

χ i + 1 = 1 3 × 2 χ i + c χ i 2

Mas o que representa o xi, afinal? Representa os números que se candidatam a soluções da equação e que vão sendo obtidos por iterações - ou seja, aplicações sucessivas da expressão

χ i + 1 = 1 3 × 2 χi + c χ i 2

Você pode começar com um valor qualquer; por exemplo, 1; que chamaremos de x0. Coloque-o no lugar de xi e calcule xi+1 pela expressão dada. Substitua esse x1 novamente na expressão e calcule x2. Volte com x2 novamente na mesma expressão e calcule x3. Depois de algumas iterações ou ciclos da mesma expressão, você verá que os xi+1 estarão variando muito pouco. Então, você estará chegando muito perto de c 3 

Talvez você esteja se perguntando: Mas então x0 pode assumir qualquer valor, isto é, eu posso chutar qualquer valor inicial?

Sim, pode. x0 pode assumir qualquer valor positivo, pois a expressão acaba convergindo para o valor desejado - se bem que, quanto mais perto x0 estiver do valor, por assim dizer, verdadeiro de c 3 , tanto mais rapidamente a expressão convergirá para um bom valor aproximado de c 3 

Talvez isso lhe pareça misterioso e, na verdade, não deixa de ser mesmo, mas o melhor aqui é ver o método em funcionamento.

Use a sua calculadora e teste a seguinte iteração:

x 3 = 8 C = 8 x = 8 3 que você sabe que é 2

Isso é o mesmo que

x i + 1 = 1 3 2 x i + 8 x i 2

Façamos, por exemplo, x0 = 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tente reproduzir esses resultados na sua própria máquina. Mas observe:

  • o primeiro valor, o x0 é um valor arbitrário, um chute mesmo, como já dissemos;
  • todos os xi obtidos a partir desse x0 foram escritos com três casas decimais (muitas calculadoras permitem que se fixe o número de casas decimais desejado);
  • vamos considerar que o valor 8 3 terá sido alcançado quando não houver mais modificações na segunda casa decimal (no entanto, você pode considerar que a meta foi atingida quando não houver mais variação na segunda, terceira ou qualquer outra casa; aqui, estamos levando o cálculo até a segunda casa decimal para observar o comportamento dos xi)

    Como você viu, chegamos a um resultado aceitável em cinco ciclos ou iterações. O que você espera que aconteça se atribuímos x0 = 0 para o valor de saída?

    Podemos criar uma rotina para a calculadora, caracterizada por uma seqüência de comandos que permite calcular xi+1 a partir de xi. A seqüência deverá lhe permitir fazer o cálculo diretamente, sem anotar resultados parciais no papel. Uma sugestão é a seguinte seqüência, planejada para uma máquina bem simples (como a calculadora do Windows modo standard, por exemplo):

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  • Calcule1 7 3 pelo método das aproximações sucessivas com o algoritmo desenvolvido. Comece com C = 17 e x0 = 1. Faça 5 iterações (isto é, faça i variar de 1 a 5) e dê o valor de 1 73 com 3 casas decimais.

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    Maria Ângela Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é professora de matemática do Colégio Ítaca.

    

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