Raiz cúbica - Como calcular "na mão"

Maria Ângela Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Quanto vale a raiz cúbica de 8? Como você tem um cubo perfeito, o resultado é fácil (2). Mas e a raiz cúbica de 17? $\sqrt[3]{17}$

Veja como aplicar um método iterativo (não confunda com interativo; esse adjetivo se refere a algo repetitivo e auto-alimentado) que calcula de maneira bem simples a raiz cúbica de um número positivo C, com boa aproximação. Acompanhe:

Dada a equação X³ - C = 0, é possível calcular a raiz cúbica aproximada de C usando a seguinte expressão:

$χ_{i} + 1 = \frac{1}{3} \times (2 χ_{i} + \frac{c}{{χ_{i}}^{2}})$

χ_{i} + 1 = \frac{1}{3} \times (2 χ_{i} + \frac{c}{{χ_{i}}^{2}})

Esse é um processo iterativo baseado numa prática de cálculo numérico chamado método de Newton.

Quem são esses x_i e x_i+1 que aparecem nessa expressão?

Bem, se você tiver x_i , pode calcular x_i+1 através da própria expressão

$χ_{i} + 1 = \frac{1}{3} \times (2 χ_{i} + \frac{c}{{χ_{i}}^{2}})$

χ_{i} + 1 = \frac{1}{3} \times (2 χ_{i} + \frac{c}{{χ_{i}}^{2}})

Mas o que representa o xi, afinal? Representa os números que se candidatam a soluções da equação e que vão sendo obtidos por iterações - ou seja, aplicações sucessivas da expressão

$χ_{i} + 1 = \frac{1}{3} \times (2 χ_{i} + \frac{c}{{χ_{i}}^{2}})$

χ_{i} + 1 = \frac{1}{3} \times (2 χ_{i} + \frac{c}{{χ_{i}}^{2}})

Você pode começar com um valor qualquer; por exemplo, 1; que chamaremos de x₀. Coloque-o no lugar de x_i e calcule x_i+1 pela expressão dada. Substitua esse x₁ novamente na expressão e calcule x₂. Volte com x₂ novamente na mesma expressão e calcule x₃. Depois de algumas iterações ou ciclos da mesma expressão, você verá que os x_i+1 estarão variando muito pouco. Então, você estará chegando muito perto de $\sqrt[3]{c}$

Talvez você esteja se perguntando: Mas então x₀ pode assumir qualquer valor, isto é, eu posso chutar qualquer valor inicial?

Sim, pode. x₀ pode assumir qualquer valor positivo, pois a expressão acaba convergindo para o valor desejado - se bem que, quanto mais perto x₀ estiver do valor, por assim dizer, verdadeiro de $\sqrt[3]{c}$ , tanto mais rapidamente a expressão convergirá para um bom valor aproximado de $\sqrt[3]{c}$

Talvez isso lhe pareça misterioso e, na verdade, não deixa de ser mesmo, mas o melhor aqui é ver o método em funcionamento.

Use a sua calculadora e teste a seguinte iteração:

$x^{3} = 8 (C = 8) \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} (que você sabe que é 2)$

x^{3} = 8 (C = 8) \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} (que você sabe que é 2)

Isso é o mesmo que

$x_{i} + 1 = \frac{1}{3} (2 x_{i} + \frac{8}{{x_{i}}^{2}})$

x_{i} + 1 = \frac{1}{3} (2 x_{i} + \frac{8}{{x_{i}}^{2}})

Façamos, por exemplo, x₀ = 1:

Tente reproduzir esses resultados na sua própria máquina. Mas observe:

o primeiro valor, o x₀ é um valor arbitrário, um chute mesmo, como já dissemos;

todos os x_i obtidos a partir desse x₀ foram escritos com três casas decimais (muitas calculadoras permitem que se fixe o número de casas decimais desejado);

vamos considerar que o valor

\sqrt[3]{8}

terá sido alcançado quando não houver mais modificações na segunda casa decimal (no entanto, você pode considerar que a meta foi atingida quando não houver mais variação na segunda, terceira ou qualquer outra casa; aqui, estamos levando o cálculo até a segunda casa decimal para observar o comportamento dos x_i)

Como você viu, chegamos a um resultado aceitável em cinco ciclos ou iterações. O que você espera que aconteça se atribuímos x₀ = 0 para o valor de saída?

Podemos criar uma rotina para a calculadora, caracterizada por uma seqüência de comandos que permite calcular x_i+1 a partir de x_i. A seqüência deverá lhe permitir fazer o cálculo diretamente, sem anotar resultados parciais no papel. Uma sugestão é a seguinte seqüência, planejada para uma máquina bem simples (como a calculadora do Windows modo standard, por exemplo):

Calcule $\sqrt[3]{17}$ pelo método das aproximações sucessivas com o algoritmo desenvolvido. Comece com C = 17 e x₀ = 1. Faça 5 iterações (isto é, faça i variar de 1 a 5) e dê o valor de $\sqrt[3]{17}$ com 3 casas decimais.

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