Georg Cantor Matemático alemão de origem russa

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor nasceu em São Petersburgo, na Rússia, a 3 de março de 1845, e faleceu em Halle, Alemanha, a 6 de janeiro de 1918. Deixou a Rússia ainda menino, emigrando com a família para a Alemanha. Estudou em Zurique, Berlim e Göttingen. Em 1872 foi nomeado professor assistente de matemática em Halle, assumindo a direção da cadeira no ano de 1879.

A teoria dos conjuntos, criada por Cantor, é uma das mais notáveis inovações matemáticas dos últimos séculos. Apresentada em pleno século 19, foi combatida pelos contemporâneos do matemático - entre eles, seu maior inimigo, Leopold Kronecker -, suscitando várias polêmicas, principalmente no que se refere à intervenção dos paradoxos - que conduziam a resultados aparentemente inaceitáveis - e à rejeição de axiomas clássicos.

Com a passagem dos anos, entretanto, as aplicações da teoria dos conjuntos vieram comprovar sua extraordinária importância para o progresso da análise matemática.

Vários infinitos

As contribuições de Cantor são inúmeras. Seus primeiros trabalhos estão voltados para a questão dos números. Seu interesse era o de estabelecer fundamentos sólidos para o continuum dos números reais, mostrando, entre outras coisas, que há conjuntos não enumeráveis.

Ao distinguir números algébricos e transcendentais (não algébricos), Cantor encontra a maneira de comparar os tamanhos de conjuntos infinitos, mostrando que o conjunto de todos os números é maior do que o conjunto dos números algébricos.

Encarar totalidades, e não objetos individuais (números, pontos ou funções), é uma das inovações de Cantor. Assim, ele descobre que as totalidades possuem propriedades que não são partilhadas pelos objetos dessas mesmas totalidades.

Valendo-se da distinção entre classes infinitas e finitas, Cantor define conjuntos similares ou equipotentes (que podem ser postos em correspondência biunívoca), e mostra a diferença entre cardinais e ordinais, que deixa de ser algo trivial quando os conjuntos são infinitos.

Entre as consequências dos estudos de Cantor está a descoberta de que existem totalidades que não são equipotentes, podendo um conjunto infinito ser colocado em correspondência com uma de suas próprias partes. O velho axioma do "todo maior que as partes" foi, assim, banido da matemática, quando se trata de conjuntos infinitos.

O matemático também descobriu que os conjuntos infinitos não têm sempre o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo cardinal: por exemplo, o conjunto dos números racionais é do mesmo tamanho que o do conjunto dos números naturais, o que não ocorre em relação aos números reais. Existem, portanto, vários infinitos, uns maiores que outros. Entre esses infinitos, há os que, de tão grandes, não possuem correspondência no mundo real.

Números transfinitos e a hipótese do contínuo

Por existirem vários tipos de infinitude, Cantor criou o conceito de números transfinitos (o número cardinal de um conjunto infinito). A famosa "hipótese do contínuo", daí resultante, é ainda hoje tema de muitos estudos.

Tomando por base o contínuo linear, Cantor desenvolve a teoria de conjuntos de pontos, em que surgem noções como as de ponto de acumulação, conjunto fechado, conjunto perfeito, entre outras, bem como a teoria geral dos conjuntos, em que aparecem as noções de número cardinal, número ordinal, ordem, etc.

As aplicações da teoria dos conjuntos na solução de questões relativas à estrutura algébrica de vários tipos de conjuntos e às suas propriedades operatórias abriram novos rumos para os matemáticos.

Vale salientar, entre outras aplicações, a extensão dos conceitos de medida e de integral, a introdução da noção de espaço abstrato (definido como conjunto de elementos com propriedades fixadas em axiomas) e as inovações no campo da integração e no estudo das funções, examinadas à luz da correspondência entre conjuntos.

Luta e reconhecimento

A descoberta de diferentes infinitos e a verdadeira perseguição comandada por Leopold Kronecker representaram um desafio ao espírito religioso de Cantor. Acusado inclusive de blasfêmia por alguns de seus colegas, o matemático, sofrendo de depressão, foi internado repetidas vezes em hospitais psiquiátricos. Sua mente lutava contra os paradoxos da teoria dos conjuntos, que pareciam invalidar todas as suas descobertas.

Lentamente, no entanto, Cantor começou a receber o reconhecimento que merecia. Foi nomeado membro honorário da London Mathematical Society, eleito membro correspondente da Sociedade de Ciências em Göttingen e, em 1904, homenageado com uma medalha pela Royal Society of London.

A fim de ajudar os jovens matemáticos, para que pudessem publicar suas ideias livres da censura que ele próprio havia sofrido, Cantor fundou um jornal, o Deutsche Mathematiker-Vereinigung, cujo objetivo era se contrapor às publicações controladas por matemáticos estabelecidos e conservadores.

A teoria dos conjuntos é um alicerce sobre o qual se assenta, desde as inovações de Cantor, grande parte da matemática.

Enciclopédia Mirador Internacional e Georg Cantor y la teoría de conjuntos transfinitos