Teoria do caos -b - A instabilidade das equações não-lineares

No primeiro artigo sobre a Teoria do Caos, apresentou-se o histórico desta nova ciência, que nasceu na meteorologia e acabou sendo base para uma análise "caótica" de outras áreas da ciência (economia, sociologia, ciências políticas etc.).

No âmbito da ciência clássica, o determinismo imperava: o relógio simbolizava a ordem do universo. Tudo podia ser previsto, bastava que fossem encontradas leis de funcionamento.

O Demônio de Laplace

Esse tipo de visão de mundo ganhou o nome metafórico de "Demônio de Laplace". Este cientista francês havia proposto que, se uma entidade soubesse todos os dados de cada partícula do universo e fosse capaz de fazer os cálculos necessários, poderia prever o seu funcionamento com perfeição.

Assim, este "demônio" (quem sabe um super-hipercomputador?) daria conta de explicar todo o passado o presente e o futuro - do universo e da humanidade. Por exemplo, na sociologia, se a mecânica de uma sociedade pudesse ser entendida, o funcionamento desta mesma sociedade poderia ser previsto.

No plano da física, todas as equações utilizadas seriam determinísticas. Qualquer equação que determinasse um fenômeno teria sempre um resultado específico. Todas as diferenças que se notassem em relação à realidade seriam fruto da imprecisão nos cálculos ou na sua formulação.

Equações não-lineares

Conforme se viu no artigo acima citado, o meteorologista Lorenz verificou que certas imprecisões não eram causadas pela imprecisão nos cálculos ou na teoria, mas nas próprias resoluções das equações não-lineares.

Lembramos que as simplificações - do ponto de vista estritamente teórico - podem levar as formulações não exatas. Mas elas têm o seu valor, se pensarmos em termos didáticos.

Vamos a um exemplo:

Imagine a seguinte fórmula: ax² + bx + c = 0. Se a, b e c são constantes, a sua solução já é conhecida, ou seja, ela possui duas soluções válidas:

Mas, se a, b e c fossem funções do tempo, para cada instante poderiam ser determinados outros valores de a, b e c e resolvido nas equações acima.

Isso é uma equação não-linear. Sua solução não poderia ser expressa por uma nova função no tempo:

Vamos supor que a equação acima represente, por exemplo, a quantidade de chuva que se precipitará em um certo lugar em função do tempo. E que a parcela a(t) seja a influência da pressão e vento, a parcela b(t) seja a influência da umidade relativa do ar e a parcela c(t) a da temperatura.

Ora, sempre que esta equação for resolvida para 10 dias, o resultado será o mesmo. Vamos supor que 50 mm de chuva.

Até aqui tudo normal e "previsível". Mas nós sabemos que não chove 50 mm a cada 10 dias em nenhum lugar do mundo. O que deve ser mudado então nesse raciocínio? Resposta: as condições iniciais.

Ou seja, imagine que se queira a previsão do tempo para daqui a 10 dias. Colocam-se as condições de pressão e vento, umidade do ar e temperatura de hoje e obtém-se o resultado.

Os resultados com as equações não lineares provaram ser muito melhores, em termos de modelo, do que os lineares.

O caos

O que é então o caos? O que Lorenz descobriu é que se, em vez de colocar, por exemplo, a temperatura de hoje de 15° C ele colocasse 15,000000001° C as diferenças nos resultados seriam imensas, podendo ir de 50 mm para 5 mm, e que se fosse de 15,000000002° C o resultado poderia ser 70 mm.

Veja que isso não tem nada a ver com a precisão dos cálculos ou da formulação. É uma característica deste tipo de equação (não-linear).

Essa instabilidade nas equações-não lineares é chamada de caos.

Note-se também que, no exemplo acima, as divergências aparecem para resultados cada vez mais distantes das condições iniciais.

O efeito borboleta

É aí que chegamos ao efeito borboleta: qualquer pequena variação no fator a(t), como o bater de asas de uma borboleta, poderia causar grandes variações de precipitação nas soluções finais.