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Arcos e cordas - Conceitos de desenho geométrico

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

As propriedades geométricas das figuras podem ser determinadas por meio das construções geométricas feitas com régua e compasso. Desde Euclides (300 a.C.), sabe-se que a geometria e o desenho geométrico se completam e se reforçam, exemplificando inúmeras e utilíssimas aplicações.

A geometria descreve e verifica as propriedades de entes que, no desenho, proporcionam a construção e a obtenção de lugares geométricos. Um lugar geométrico é o conjunto de pontos que apresentam uma determinada propriedade: se um certo ponto possui a propriedade X, então ele pertence ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem X.

Alguns lugares geométricos são bem conhecidos:

  • circunferência : lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de um ponto dado chamado centro da circunferência - a distância constante é a medida do raio;
     
  • mediatriz: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes dos extremos de um segmento;

 

 

 

 

 

 

  • r: reta mediatriz do segmento AB ¯ - conforme a definição, r deve passar pelo ponto médio de AB ¯ de modo perpendicular a ele (fig. 1): essas são as propriedades desse lugar geométrico;
  • bissetriz interna de um ângulo: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes em relação aos lados do ângulo.

    Circunferências - arcos e cordas
    Duas cordas com um extremo comum determinam, em uma circunferência, um ângulo inscrito, e sua medida é a metade da medida do arco compreendido pelas cordas:


 

 

 

 

 

ABC ^ = APB ^ 2 , teorema do ângulo inscrito.

ABC ^ = ângulo inscrito.
APB ^ = arco de extremos A e B que passa por P.

Arco capaz
Qualquer par de cordas com um extremo comum, que determine o mesmo arco na circunferência, determinará também o mesmo ângulo inscrito:

 

 

 

 

 

ACB ^ = ADB ^ = APB ^ 2

Uma característica interessante decorrente dessa situação é que qualquer ponto Q no arco AQB ^ proporciona AQB ^ = APB ^ 2 , ou seja, qualquer ponto Q sobre o arco AQB ^ "enxerga" o segmento AB ¯ segundo um ângulo AQB ^ = APB ^ 2 , então, AQB ^ é o arco capaz de APB ^ 2 em relação ao segmento AB ¯ . Esse resultado é muito importante na determinação de ângulos entre retas secantes a circunferências, em problemas de tangência e concordância.

Pode-se definir arco capaz na seguinte situação: dado um segmento de reta AB ¯ e um ângulo α , chamamos arco capaz de α em relação a AB ¯ ao lugar geométrico dos pontos sob os quais se vê o segmento AB segundo o ângulo α .

 

 

 

 

 

 

 

Semelhança de triângulos e uma decorrência importante
Voltando-se aos dois pares de cordas na circunferência; vê-se que AB ¯ e CD ¯ têm intersecção P.


 

 

 

 

 

Observe-se que, além de ACD ^ = A B ^ D = AMB ^ 2 vale também A P ^ D = B P ^ D (ângulos opostos pelo vértice). Tem-se, assim, dois triângulos (APC e BPD) com dois pares de ângulos correspondentes congruentes, o que garante que os triângulos são semelhantes. Desse modo, PA PD = PC PB PA . PB = PC . PD. O que esse resultado indica?
Observe que, fixando-se um ponto I no interior de uma circunferência, o produto PA . PB é constante, qualquer que seja a corda AB ¯ passando por P.
O produto PA . PB é denominado potência do ponto P em relação a essa circunferência, e vale para pontos internos ou externos a ela.

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

Triângulo retângulo

Retomando-se as condições do teorema do ângulo inscrito, o que acontece se as extremidades não comuns das cordas forem extremos de um diâmetro da circunferência?

Observe: C é um ponto qualquer da circunferência; A e B são extremos de um diâmetro.


 

 

 

 

 

 

ACB ^ = AB ^ 2 , mas AB ^ = 180o; logo, ABC ^ = 90o.
Ou seja, o triângulo ABC é retângulo.

Veja as conclusões decorrentes desse resultado:

  • a semicircunferência é o lugar geométrico dos pontos que vêem um diâmetro sob ângulo de 90o (é o arco capaz de 90o em relação ao diâmetro);
     
  • um triângulo é inscritível em uma semicircunferência se e somente se é retângulo;
     
  • se o triângulo é retângulo, seu circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa (podendo-se provar o item seguinte);
     
  • se o triângulo é acutângulo, o circuncentro é um ponto interno ao triângulo, e se é obtusângulo, o circuncentro é externo).

    Você pode demonstrar cada uma dessas proposições usando régua e compasso.

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