Desigualdade - Princípio da inequação

A desigualdade é importante para a matemática, principalmente nas experiências e nos problemas que abordam a necessidade de se comparar um conjunto de medidas. É a partir desse procedimento que podemos compreender como uma inequação é construída e quais são as principais regras para a sua resolução.

Um bom exemplo para ilustrar esse procedimento de comparar medidas desiguais é a leitura da temperatura durante o dia. A flutuação nas medidas da temperatura ocorrerá em função do horário e do local. Na prática, registramos essa flutuação indicando uma temperatura mínima e uma máxima, construindo, dessa forma, a ideia de intervalo, que ajuda a organizar a nossa análise nesse tipo de experiência.

Assim, numericamente, se imaginarmos uma cidade com a temperatura mínima de 20^o C e a máxima de 32^o C, representaremos a temperatura por T e utilizaremos os símbolos convencionais de maior ou igual $$\ge$$e de menor ou igual $$\le$$para escrever a frase que expresse a temperatura dessa cidade:

Um outro exemplo interessante é sobre a variação do número de habitantes de uma cidade. Vamos imaginar a população de uma cidade no período de uma década: a quantidade mínima foi de dois milhões de pessoas e a máxima de quatro milhões. Considerando N o número de habitantes que moram na cidade, escrevemos:

Nesse exemplo, podemos introduzir mais dados para ampliar o conceito de inequação. Se, para essa cidade, nessa mesma década, houver um fluxo de saída de 500.000 habitantes por dia, para trabalhar em outras cidades mais próximas, mas retornando no final do dia, então podemos concluir que a população que permanece na cidade durante todo o dia fica no intervalo entre um milhão e meio e três milhões e meio de pessoas.

O número de habitantes que não saem da cidade durante todo o dia pode ser definido por F, lembrando que F = N - 500 000. Assim, temos:

Agora, se incluirmos no problema a informação de que um quinto de F é formado por idosos, então poderemos definir D como a quantidade de idosos e escrever a relação entre essas duas quantidades com D = F/5.

Reescrevendo, em função de N substituímos D por (N - 500 000)/5 e temos:

Esse exemplo mostra a forma como organizamos a análise de um problema construindo uma inequação. Os procedimentos são semelhantes à construção das equações, com o rico detalhe de que estamos interpretando o que é variável.

Há outras situações em que essas experiências matemáticas podem ser expressas fora de um intervalo. Ainda no nosso exemplo, vamos imaginar um sociólogo realizando uma pesquisa em relação aos hábitos da população, utilizando a renda mensal como referência. Nesse estudo, o sociólogo define que a sua pesquisa está voltada para as pessoas com a renda mensal menor ou igual a 300 dólares ou maior ou igual a 1.000 dólares, representando essa variável pela letra R:

Para concluir este nosso passeio intelectual pelos princípios que constroem uma inequação, esse sociólogo chega à conclusão de que grande parte da população de baixa renda com R ? 300 é idosa. Na elaboração final do seu relatório, ele escreverá as duas inequações da sua pesquisa: uma em relação à variação do número de idosos na cidade - e a outra em relação à renda mensal deles:

A inequação é mais um recurso da linguagem matemática para organizarmos problemas, situações ou experiências matemáticas. A desigualdade é uma consequência muito mais comum do que a igualdade. E isso acontece porque, por mais precisos que sejam os instrumentos, as medidas sempre serão variáveis. Assim, não esqueça que, ao comparar duas quantidades, tentando concluir qual delas é maior ou menor, você estará utilizando o princípio da inequação.