Divisão entre frações - Álgebra explica a elaboração da regra

Como dividir duas frações? A regra construída para esse tipo de cálculo é a de multiplicarmos a fração que está na posição do dividendo pelo inverso da fração que ocupa a posição do divisor:

A princípio, parece ser uma regra simples. No entanto, gera algumas curiosidades. Por que invertemos a operação e uma das frações? Como essa regra foi elaborada?

Uma estratégia para interpretarmos e entendermos a construção dessa regra é utilizarmos os recursos da álgebra, no que se refere à construção das equações.

Toda equação surge de um problema. Retomando o início do nosso exemplo, poderíamos, antes de aplicar a regra, construir a seguinte pergunta: Qual é o resultado de três meios dividido por cinco sétimos?

Na álgebra, quando não conhecemos uma medida, utilizamos uma letra para representá-la - e, assim, traduzimos esse problema pela equação abaixo:

Diante de um problema simples temos uma equação também simples. E resolvê-la é estar atento às propriedades das operações. Uma informação importante é a de que, na divisão, ao multiplicarmos o quociente pelo divisor, obtemos o dividendo. Isso pode ser verificado com um exemplo numérico, para logo a seguir ser aplicado ao nosso problema da divisão entre duas frações:

A consequência é que agora temos um número desconhecido, definido como y, multiplicando 5/7 e dando como resultado o 3/2.
A multiplicação de um número por uma fração pode ser reescrita com esse número multiplicando o numerador da fração. Isso também pode ser demonstrado numericamente:

Se

, então temos:

Dessa forma, podemos aplicar essa propriedade ao nosso problema do y, bastando multiplicar cinco sétimos:

A partir desse novo formato da equação, com uma igualdade entre duas frações, utilizamos a antiga propriedade relacionada à equivalência entre as frações. O exemplo numérico é, mais uma vez, o recurso para a demonstração de uma propriedade, a fim de, logo a seguir, aplicá-la na continuidade da resolução do problema apresentado no início deste texto:

Chegamos à última etapa, em que temos a multiplicação de y por 10, dando como resultado o número 21. Pela tabuada, aprendemos que, ao dividirmos o resultado da multiplicação por um dos fatores, obtemos o valor do outro fator (se 6 x 5 = 30, então 30 : 6 = 5 ou 30 : 5 = 6). A partir disso, concluímos a resolução do nosso problema:

Obtemos o mesmo resultado que foi conseguido no início do texto, na situação em que foi aplicada somente a regra. E ainda bem que isso ocorreu, senão teríamos errado na descrição da regra - ou na sua demonstração.

A construção de uma regra é um caminho longo. No entanto, para quem quer aplicá-la com segurança, sem confusões durante as resoluções dos problemas, é preciso estudá-la. Para isso, a demonstração é um dos melhores recursos.

Veja errata.