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Enem - Cálculo de custos - Relação entre custo e volume

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Neste artigo analisaremos a Questão 59 da prova amarela de matemática do Enem 2006. Trata-se de uma questão interessante: na confecção de dois moldes cilíndricos, que serão preenchidos com parafina, são usados cartões retangulares com a mesma medida, mas com posições trocadas (a altura de um passa a ser a largura do outro - e vice-versa).


 

 

 

 

 

 

 

 

 

O problema nos desafia a compararmos os custos das velas, de acordo com esses dois moldes, a partir da informação de que o custo é diretamente proporcional ao volume da parafina.

Dessa forma, torna-se necessário o cálculo do volume de cada cilindro formado pelo cartão, para que se possa efetuar a comparação dos volumes e, por consequência, também dos custos.

Vamos começar essa comparação pela altura de cada cilindro, que é obtida a partir da posição dos cartões. O tipo 1 tem uma altura de 10 cm, enquanto que o tipo 2 possui a medida de 20 cm. Como a solução será dada em função da comparação dos dois volumes, é interessante verificar quantas vezes uma altura é maior ou menor que a outra:

H I H II = 1 0 cm 2 0 cm = 1 2 H I H II = 1 2 H II = 2 × H I

O próximo passo é o cálculo da área da base de cada cilindro. Nesse caso, por se tratar de um círculo, precisamos ter a medida do raio, informação que pode ser obtida verificando-se o comprimento de um dos lados do cartão, que é justamente o perímetro do círculo (P) - e que forma a base:

P = 2 × π × R
2 0 cm = 2 × π × R II
1 0 cm = 2 × π × R II

Poderíamos calcular o raio de cada molde, mas, para evitar perda de tempo, dividimos um perímetro pelo outro para saber quantas vezes o raio da base do cilindro 1 é maior do que o do cilindro 2:

{ P I = 2 × π × R I P II = 2 × π × R II { 2 0 cm = 2 × π × R I 1 0 cm = 2 × π × R II 2 0 cm 1 0 cm = 2 × π × R I 2 × π × R II 2 = R I R II R I = 2 × R II

Assim, com os resultados dessas comparações, podemos finalmente calcular quantas vezes o volume do molde 1 é maior ou menor que o volume do molde 2, lembrando sempre que as expressões para se calcular a área de um círculo e o volume de um cilindro são, respectivamente:

Α círculo = π × R 2
V = Α Β × Η sendo que Α Β é a área da base.

Agora, é só prestar atenção nas substituições:

V cilindro = π × R 2 × Η
{ V I = π × R I 2 × Η I V II = π × R II 2 × Η II { V I = π × 2 × R II 2 × Η I V II = π × R 2 II × 2 × Η I
{ V I V II = π × 4 × R 2 II × Η I π × R 2 II × 2 × Η I = 2 V I = 2 × V II

O custo (C) da parafina, como foi informado pelo problema, pode ser interpretado como o preço da parafina por unidade de volume. Estabelecendo a razão entre os dois volumes, concluímos que volume 1 é o dobro do volume 2, tendo como consequência o mesmo resultado para a razão entre os custos.

Se a vela 1 ocupa um volume duas vezes maior do que a vela 2, então o custo será também duas vezes maior. Portanto, a resposta correta é a alternativa B.

Observações

Um aspecto interessante que precisa ser ressaltado é que, apesar de os dois cartões possuírem medidas e áreas iguais, produzem volumes diferentes. Trata-se de um fato que deve ser observado, em função da falsa impressão de que os volumes dos moldes pudessem ficar iguais, por algum tipo de compensação, ao invertermos a posição do cartão.

Realmente, na inversão do cartão de 1 para 2 temos um aumento na altura do cilindro, com a redução na área da base; no entanto, essa relação não garante a compensação para manter o volume constante.

Outro aspecto importante é imaginarmos a possibilidade de o custo da parafina ser diretamente proporcional à massa (e não em relação ao volume). O que mudaria? Teríamos de lembrar que a densidade (D) é definida, para qualquer corpo, como a razão da massa (m) pelo volume (V), descrita pela expressão D = m / V. Assim, se considerarmos Dp como a densidade da parafina, então podemos construir as relações necessárias:

D P = m II V II V II = m II D P
D P = m I V I V I = m I D P
V I V II = m I D P m II D P V I V II = m I D P × D P m II V I V II = m I m II
2 = m I m II m I = 2 × m II

Como vemos, a relação entre os custos se mantém, já que a densidade da parafina é a mesma para os dois tipos de molde. A proporção, portanto, não se altera. O custo do tipo 1 continua sendo o dobro do tipo 2.

Antonio Rodrigues Neto, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação professor de matemática no ensino fundamental e superior, é mestre em educação pela USP e autor do livro "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez" pela Editora da UNESP.

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