Inequações modulares - Estratégias de resolução

A inequação modular é uma desigualdade em que a incógnita "aparece dentro do módulo".

Vamos lembrar a função modular mais simples, que é $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|$$ e seu gráfico:

Ele vai ser útil para entendermos o processo de resolução das inequações modulares.

Vejamos um exemplo simples e seu significado, para entendermos a estratégia típica de resolução desse tipo de inequação.

Exemplo: $$\left|x\right|>2$$
Se considerarmos

e

, podemos olhar a desigualdade da seguinte forma: $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)>\text{g}\left(x\right)$$ . Traçando as curvas das duas funções no mesmo sistema cartesiano, analisaremos graficamente a situação:

Os pontos de intersecção das funções (pontos de encontro) são os valores de x tais que
$$\left|x\right|=2$$ . Logo, são x = -2 e x = 2.

Analisando os gráficos das funções, percebemos que:

• $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)>\text{g}\left(x\right)$$ até x = -2 e após x = 2;
   
• $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)<\text{g}\left(x\right)$$ entre -2 e 2.
  
   

Assim, a solução da inequação $$\left|x\right|>2$$ é $$\text{S}=\{x\in \text{R}|x<-2 \text{ou }x>2\}$$ .

Se quiséssemos resolver a inequação $$\left|x\right|<2$$, de acordo com o gráfico, a solução seria $$\text{S}=\{x\in \text{R}|-2<x<2\}$$ .

De acordo com a análise feita, podemos dizer que
 

• inequações da forma $$\left|x\right|>a$$ têm solução da forma x < -a ou x > a (maior vira ou);

inequações da forma $$\left|x\right|<a$$ têm solução da forma -a < x < a (menor fica entre).

Exemplo 1

Aplicando a "regrinha", maior vira ou:

Exemplo 2

Agora, menor fica entre:

Exemplo 3

Nesse caso, devemos procurar os valores de x que satisfaçam a duas desigualdades:

e

Assim, precisamos resolvê-las e, para descobrir os valores de x, verificando as duas ao mesmo tempo, faremos a intersecção das soluções: