Números invisíveis - Eles existem e ajudam em certas operações

"O Homem Invisível", um dos contos do escritor H. G. Wells, mostra a diferença entre ser invisível e não existir. É o caso de alguns números na matemática: eles se tornam invisíveis devido à maneira como os utilizamos e os interpretamos; no entanto, dependendo do problema abordado, é importante lembrar que eles existem na operação.

Na verdade, esses números surgem em situações que exigem um pouco de cuidado, pois podem causar dúvidas justamente em definições ou aplicações que, na maioria dos casos, são simples.

Vou começar pela invisibilidade de um número bastante famoso - o número 1.

Na condição de divisor, o número 1 não altera os resultados. Em outras palavras, dividir por 1 é o mesmo que não dividir. Essa informação permite algumas manobras na escrita matemática, durante os cálculos, em função da leitura e da interpretação que necessitamos fazer. Divisor e denominador são sinônimos e todo número pode ser reescrito com o número 1 sendo colocado na posição de denominador. É uma condição válida para qualquer tipo de número:

,

,

. Generalizando, temos

, sendo $$a\in \mathit{\text{R}}$$

.

Mas no que esse tipo de recurso pode nos ajudar? Para chegar a uma resposta é necessário analisar vários casos, sendo que um deles é o da definição do número inverso.

Inverter um número é, metaforicamente, dar-lhe uma cambalhota. Isso é fácil de ser aplicado nos números fracionários, já que, para invertê-los, é só trocar a posição do numerador pelo denominador. Por exemplo, o inverso de 2/3 é 3/2, enquanto que o inverso de 7/4 é 4/7. Agora, qual é o inverso de 2?

É justamente para esse caso que temos que interpretar a invisibilidade do número 1, para que não seja cometido nenhum erro. O número 2 pode ser escrito como 2/1 e isso ajudará a responder à pergunta, utilizando a metáfora da cambalhota, com a conclusão de que o inverso de 2 é 1/2.

Esse procedimento pode ser aplicado para vários tipos de números em que não há denominador, isto é, quando o número 1 fica invisível:

Essa inversão aparentemente simples ganha um peso maior quando estamos operando com expoentes. A informação de que podemos mudar o sinal do expoente, por meio da inversão da base, exige que não tenhamos nenhum tipo de dúvida para invertermos um determinado número:

, isto porque

.
O 1 como expoente e a invisibilidade do 2

Já que estamos tratando da potenciação, é importante saber que o número 1 também fica invisível na condição de expoente. Este é mais um tipo de notação importante, que ajuda na leitura de muitos textos matemáticos, principalmente quando são aplicadas as propriedades da potenciação e da radiciação, como indicado nos três exemplos abaixo:

Mas nem todos os casos de invisibilidade na notação matemática estão relacionados ao número 1. Na radiciação, produziu-se a invisibilidade do 2, nos casos em que ele fica posicionado como índice da raiz:

É mais um caso em que, levando-se em conta a quantidade de problemas com raiz quadrada, ficou mais prático não escrever o 2 no índice.

Para não congestionar o texto, evitar escrever alguns termos é uma das funções da notação e da escrita matemáticas. Uma das estratégias, como vimos, é torná-los invisíveis, lembrando sempre, como no conto de H. G Wells, que ser invisível não é deixar de existir.