Programação linear - Exercício resolvido com inequação

O administrador de uma pequena fábrica de móveis está pensando em otimizar a utilização dos recursos de seu estoque. Essa fábrica produz poltronas em dois modelos, "Albany" e "Bridget", forradas em brim e lona.

Ele sabe que para forrar uma poltrona "Albany" são precisos 2 m² de brim e 6 m² de lona. Já para forrar uma poltrona "Bridget" são precisos 4 m² de brim e 4 m² de lona. No estoque, a fábrica dispõe de 160 m² de brim e 240 m² de lona.

Qualquer dos modelos de poltrona é vendido por R$ 160,00.

Com essas informações, de que modo o administrador pode sugerir à produção da fábrica para obter a máxima renda? Em outras palavras, qual é o número de poltronas de cada modelo que devem ser forradas para otimizar a renda?

Essa é uma situação que pode ser compreendida pela programação linear, uma ferramenta que modela e resolve problemas de otimização em planejamento. Através da programação linear, conseguem-se descobrir os parâmetros que levam ao máximo ou mínimo valor de uma grandeza em uma análise de atividades, ou numa situação de mistura ou combinações, problemas de transporte, alimentação de máquinas, etc.

Estamos procurando um número X de cadeiras "Albany" e Y de cadeiras "Bridget" que satisfaçam, simultaneamente, as seguintes restrições:

Essas sentenças descrevem, matematicamente, de quais fatores depende a melhor resposta para o nosso problema e o que desejamos a respeito do número de cadeiras a serem confeccionadas.

Na verdade, a renda máxima depende de vários outros fatores; mas sem pensar em custos subjacentes à atividade de produção, tais como o consumo de energia, impostos, despesas com pessoal etc, reduzimos as variáveis a duas que consideramos mais relevantes: essa é a modelagem do problema.

Através da modelagem, conseguimos a solução ótima da questão, que nem sempre é uma solução aplicável na realidade: a melhor solução para o modelo pode não corresponder à melhor solução do caso real, e os motivos são vários: ou a resposta obtida não é possível, ou não é aplicável à situação.

Tomemos a função Renda: note que ela é uma função de duas variáveis, x e y. R = 160x + 160y.

Se escrevermos a função y = f(x) tendo R como um parâmetro, então a expressão y = -x + R/160 descreve uma família de retas paralelas de inclinação m = -1.

Lembremos que queremos o maior R possível, e que as desigualdades (1) a (4) devem ser satisfeitas. É aqui que entra a Geometria Analítica.

Essas restrições do modelo determinam uma região poligonal à qual damos o nome de conjunto das soluções viáveis . No nosso caso, esse conjunto de pontos é a região escura V₁V₂V₃V₄, que satisfaz as condições (1) a (4). A melhor das soluções viáveis, isto é, aquela que melhor maximiza ou minimiza a função objetivo denomina-se solução ótima.

Observando agora as retas y = -x + R/160 para vários valores de R,

A solução ótima (quando ela existir) será um ponto da região que também corresponda a um ponto da reta y = -x + R/160 de maior R; será sempre será um ponto de "quina" ou um ponto extremo da região convexa definida pelas restrições. Estamos procurando, portanto, uma intersecção entre a região e uma das retas:

A intersecção ocorre em V₂(20;30).

Algumas observações: