Matemática - Geometria métrica dos recipientes

Geometria métrica dos recipientes

Objetivo

Relacionar os conceitos da geometria métrica com recipientes e outros artefatos utilizados no nosso cotidiano. A partir de uma questão proposta pelo ENEM em 2005, mostrar os procedimentos necessários para a comparação dos volumes dos recipientes.

Estratégias

1) Pedir para os alunos darem exemplos de recipientes fazendo a correspondência com o formato dos sólidos geométricos. Por exemplo, um copo com o formato de um cilindro:

2) Apresentar uma questão do ENEM que desafia noções e conceitos da geometria métrica para a interpretação do volume de alguns recipientes:

2) Desenhar os recipientes indicando a letra H para altura e R para o raio da base ou da boca dos recipientes. Explicitar a condição do problema de H/2 para altura do líquido em cada recipiente.

3) Mostrar as expressões usadas no cálculo do volume do cone e da esfera, indicando nos desenhos os respectivos volumes dos líquidos contidos em cada recipiente:

a) No primeiro recipiente, que é um cone de altura H e raio R, o volume do líquido toma a forma de um cone menor de altura H/2 e raio que será considerado igual a r:

b) No segundo recipiente, o volume do líquido corresponde ao volume da metade de uma esfera com raio R:

c) Para o terceiro recipiente, o volume do líquido corresponde a um cone com raio da base R e altura igual a H/2:

4) Observar, na ilustração do segundo recipiente, que o raio R da semiesfera é igual à metade da altura H do recipiente, assim, o raio R da boca de cada recipiente é igual a H/2. Fazemos a substituição para o segundo e o terceiro caso, calculando o volume dos respectivos líquidos em função de H:

5) No primeiro recipiente, utilizamos o conceito de semelhança para relacionarmos o raio r do cone líquido com o raio R do recipiente:

6) Substituir a relação H/4 na expressão que indica o volume do líquido no primeiro recipiente, fazendo as respectivas simplificações. Comparar com os resultados de outros recipientes. A alternativa B é a resposta correta:

6) Desafiar os alunos a calcularem o volume não ocupado pelo líquido no segundo recipiente em função somente de H:

7) Calcular o volume do terceiro recipiente, formado por dois cones, mostrando que a altura de cada um deles é H/2:

8) No primeiro recipiente, mostrar o formato do tronco de cone não ocupado pelo líquido. Calcular o volume desse tronco em função somente de H:

Atividades

1) É feita uma comparação entre o tamanho de duas esferas e a conclusão é de que o raio da esfera menor é um terço do raio da maior. A partir dessa informação, faça também a comparação dos volumes dessas duas esferas.

2) A altura de um cone é a metade da altura de um determinado cilindro. Na condição de o raio da base desse cone ser o quádruplo do raio da base do cilindro, escreva uma expressão matemática comparando os volumes desses dois sólidos.

3) O volume de um recipiente com formato cônico tem 30% do seu volume ocupado por água. O volume dessa água é transferido para um outro recipiente, com o formato cilíndrico ocupando metade do seu volume. Na condição dos dois recipientes terem alturas iguais, escreva a expressão matemática comparando os respectivos raios desses sólidos.