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medio
1. Adição e subtração de arcos, arco duplo, transformação em produto
1.1. Adição e subtração de arcos
A partir das relações básicas da trigonometria:
E das relações geométricas do círculo trigonométrico, podem-se deduzir as relações trigonométricas para a soma e diferença de dois arcos:
Relações estas muito importantes para a resolução de equações e inequações trigonométricas.
1.2. Arco duplo
Usando-se as relações acima para quando os arcos forem iguais:
sin (α + α) = sin α cos α + sin α cos α
Ou:
sin (2 α) = 2 sin α cos α
Analogamente para o cosseno e tangente.
Em síntese:
1.3. Transformação de soma em produto de arcos
De posse das relações trigonométricas de soma e subtração de arcos pode-se deduzir as relações transformação de somas e subtrações em produto:
Além dessas relações vale enfatizar os valores das variáveis trigonométricas dos arcos notáveis:
2. Resolução de equações e inequações trigonométricas
2.1. Equações trigonométricas
Existem várias maneiras de se resolver uma equação trigonométrica que envolva a soma ou a subtração de arcos. Pode-se destacar algumas delas como exemplos:
a) Soma de arcos
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→ deve-se usar a fórmula do seno da soma de dois arcos.Como
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eClique para acessar conteúdo externo
:Assim, nosso arcos de referência são:
Logo
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b) Arco duplo
(sin α + cos α)2 = 1 com 0 ≤ α ≤ 2π
Elevando o primeiro termo ao quadrado, teremos:
sin2α + 2sinαcosα + cos2α = 1
sabemos que: sin2α + cos2α = 1 (relação fundamental), então:
1 + 2sinαcosα = 1
2sinαcosα = 0
Aplicando a fórmula do seno do arco duplo, temos:
sin2α = 0, portanto
2α = 0, e α = 0
2α = π, e α = π/2
2α = 2π, e α = π
2α = 3π, e α = 3π/2,
que são os valores que atendem à condição 0 ≤ α ≤ 2π.
Logo
S = { 0, π/2, π, 3π/2 }
c) Transformação de soma em produto
cos3α + cosα = 0 com 0 ≤ α ≤ 2π.
Aplicando a fórmula para transformar a soma de dois cossenos em produto:
2cos2αcosα = 0
cos2αcosα = 0
Temos, portanto:
cos2α = 0, 2α = π/2 e α = π/4, ou 2α = 3π/2 e α = 3π/4
ou
cosα = 0, então α = π/2 ou α = 3π/2
sendo assim, as quatro soluções para a nossa equação são:
S = { π/4, π/2, 3π/4, 3π/2 }
3. Inequações trigonométricas
As inequações trigonométricas seguem as mesmas técnicas de resoluções das equações, porém a resposta leva em consideração o círculo trigonométrico. Por exemplo:
sin α ≥ cos α/4
Nosso ângulo de referência será
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.Mais uma vez, utilizando a primeira redução acima, teremos como outra solução:
Observando então o círculo trigonométrico, tendo assinalado
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:Para que o seno seja maior ou igual precisa estar entre 45o e 135o, então: