Conjuntos fuzzy - Conceito recente na teoria dos conjuntos

Uma das missões da matemática é modelar fenômenos reais: criar subsídios para otimizar processos, provocar comportamentos desejáveis e evitar os indesejáveis. Através da matemática podemos, por exemplo, catalogar elementos dentro de um conjunto, por meio de um critério.

Suponha que temos que contar os indivíduos jovens de uma família. Para isso, você deve definir um intervalo dentro do qual os elementos são considerados jovens - digamos, entre 10 e 24 anos completos. Por outro lado, e para melhorar a modelagem, é razoável considerar também que indivíduos com 9 anos e meio ou que acabaram de completar 25 anos não estão muito longe da classificação.

Para contemplar esse novo aspecto, um critério menos rigoroso seria observado, de modo que diferentes indivíduos não pertenceriam ao conjunto com a mesma intensidade, ou seja, haveria pessoas que pertenceriam mais ao conjunto dos jovens do que outros.

Quanto mais afastada do intervalo estivesse a idade de um indivíduo, menor seria o seu grau de pertencimento ao grupo dos jovens. Nesse momento você percebe que com a inclusão do grau de pertencimento de um elemento a um conjunto, o critério evolui de um simples sim/não, verdadeiro/falso, para algo mais flexível: podemos pensar agora em bem jovem, não tão jovem, quase jovem.

Foi em 1965, pensando em atribuir significados a termos lingüísticos de cunho qualitativo, subjetivo, como 'perto', longe', alto', aproximadamente', que o matemático Lofti Zadeh, do Azerbaijão, introduziu o conceito de conjuntos fuzzy (difusos). Através de tais conjuntos, seria possível armazenar dados não precisos em computadores, gerar respostas baseadas em informações vagas ou ambíguas, em processos análogos ao do raciocínio humano!

Você sabia?
O cálculo exato e o cálculo aproximado são tarefas que mobilizam áreas distintas do cérebro!

A teoria dos conjuntos fuzzy é uma extensão da teoria dos conjuntos clássicos, tradicionais, que estudamos no ensino médio. Para qualquer conjunto tradicional, pode-se definir uma função que chamamos função característica:

Seja U um conjunto e A um subconjunto de U. A função característica declara quais elementos de U são elementos de A e quais não o são:

Nessa função, o domínio é U e a imagem está contida no conjunto {0;1}: se x é elemento de A então $${{\rm Y}}_{{\rm A}}=1$$, e se x não é elemento de A então $${{\rm Y}}_{{\rm A}}=0$$.

Essa é uma das maneiras em que se expressa o axioma do Terceiro Excluído na lógica clássica, isto é, não existe alternativa para um valor-verdade além do par {Verdadeiro, Falso}. No caso em que tratamos com problemas do mundo real, no entanto, pode ocorrer que nossas respostas não sejam nem absolutamente verdadeiras nem absolutamente falsas, podendo ser, por exemplo paradoxais, incertas, desconhecidas, indeterminadas, verdadeiras a priori, verdadeiras com uma certa probabilidade, etc. Para estender a Lógica Clássica de maneira a permitir o tratamento deste tipo de conhecimento, é necessário alterar o conjunto de valores {Verdadeiro, Falso}:

Seja U um conjunto clássico. Um conjunto fuzzy F definido sobre o universo de discurso U (conjunto-base) é definido pela seguinte função característica:

$$\mu ?\to [0,?1]$$ chamada função de pertinência de F, e representa o grau com que x de U pertence a A. Quando $$\mu$$ = 0 dizemos que x não pertence a A, mas quando $$\mu$$ = 1 dizemos que x pertence completamente a A. A função $$\mu$$ deve ser modelada de modo a representar claramente a característica dos elementos de F.

Conjuntos fuzzy podem ser operados como os conjuntos clássicos: podemos promover uniões, interseções , complementar e produto cartesiano entre conjuntos fuzzy. Novamente, elementos de tais conjuntos apresentam grau de pertinência que variarão sempre entre o e 1. Essas características têm mostrado grande aplicabilidade em tecnologia, no controle de produção de bens de consumo, e em outras áreas em princípio não diretamente relacionadas à Matemática, como medicina e ciências sociais.

Um médico deseja sistematizar o diagnóstico de gripe, e para isso lista dois sintomas típicos: febre e tosse. Considera que a avaliação desses dois sintomas são suficientes para se diagnosticar a gripe e os quantifica:

A febre, dada em x graus, pode ser considerada um subconjunto fuzzy F do universo U = [30; 45] que fornece a temperatura do corpo humano.

A tosse é quantificada pela freqüência y na unidade de tempo (hora, por exemplo), e pode ser considerada um subconjunto fuzzy T sobre um universo diferente do da febre.

Agora, para avaliar o quanto o paciente está gripado, tomamos seu grau de pertinência junto ao conjunto fuzzy F e seu grau de pertinência junto ao conjunto T; esses dados são cruzados de acordo com a operação F x T (x,y) (produto cartesiano), e seu grau de pertinência é dado pelo valor

F x T (x,y) = min {F(x); T(y)

Os dados assim cruzados dão suporte ao profissional para, a partir daí, tomar uma decisão quanto ao tratamento a ser adotado.