Conjuntos numéricos - Respostas aos problemas da realidade

Todos os números que conhecemos podem ser divididos em grupos segundo características comuns entre eles, isto é, os números estão agrupados em conjuntos - os conjuntos numéricos.

O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o conjunto dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos os números naturais.

Representação: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Muita gente acharia a Matemática bem menos complicada se existissem só esses números!

Porém, esse conjunto é limitado para algumas coisas, isto é, existem alguns problemas que ele não "consegue resolver". Tente, por exemplo, achar um sucessor e um antecessor natural para cada um desses números. O zero não tem antecessor natural! Outra coisa: é sempre possível subtrair dois números naturais e achar outro número natural? A resposta é "não". Basta tentar fazer 3 - 4.

Assim, é necessário utilizar outros números. Em nosso cotidiano, outras quantidades aparecem e precisam ser representadas, como um saldo negativo no banco ou uma variação negativa de temperatura.

O conjunto que soluciona esses problemas é o dos números inteiros. Ele é formado pelos inteiros negativos, positivos e o zero. Continua "andando" de uma em uma unidade, mas agora todos os seus componentes têm sucessor e antecessor, e é possível fazer qualquer subtração entre eles, pois o resultado será sempre inteiro.

Representação: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

No entanto, como o conjunto dos números naturais, ele tem os seus "probleminhas". Não é possível sempre dividir um número inteiro por outro e o resultado ser inteiro. Se tentarmos dividir 3 por 2, por exemplo, o resultado não será exato, não será inteiro. Logo, esse conjunto não serve ainda para representar todas as quantidades existentes. Nosso sistema monetário, com centavos, não pode ser representado só com números inteiros. A simples quantia de R$ 1,50 não é um número inteiro.

É necessário, então, outro conjunto: o dos números racionais. Esses números são os resultados de divisões exatas e inexatas, ou seja, estão incluídos os números inteiros, os decimais, as frações, as dízimas periódicas e pode ser definido como o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração.

Representação: =

Exemplos de números racionais: 0; 1,23; 0, 3333...; ?; -4; 13; etc.
Os matemáticos de antigamente chegaram a aceitar que esses números fossem perfeitos, que não houvesse nenhum problema sem solução para eles. Mas foram surpreendidos com o seguinte questionamento: qual é a medida da diagonal do quadrado de lado 1?

 

 

 

 

 

 

 

A diagonal e os lados do quadrado formam um triângulo retângulo, no qual é possível aplicar o teorema de Pitágoras:

A pergunta aqui, na verdade é: qual é o número racional que, elevado ao quadrado, resulta em 2? A resposta é: não existe número racional que, elevado ao quadrado, resulte em 2, nem em 3, nem em 5 e muitos outros.

O número que soluciona esse problema é a raiz quadrada de dois. Esse número não é racional, pois possui infinitas casas decimais, as quais não constituem uma dízima, logo não pode ser escrito na forma de fração.

Surge, então, um novo conjunto - o dos números irracionais. Esse conjunto é constituído, basicamente, pelas raízes não-exatas, mas seu mais famoso integrante é o número

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, seguido do número e.

Assim, os números que fazem parte do conjunto dos números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, logo não são racionais, ao contrário dos conjuntos anteriores, pois os naturais estão contidos nos inteiros - e esses, por sua vez, estão contidos nos racionais.

A união dos irracionais com os racionais forma o conjunto dos números reais (R) , os quais resolvem quase todo tipo de problema. Isso mesmo: quase todos os problemas, pois existe uma questão que ainda fica em aberto: qual o número real que, elevado ao quadrado, resulta em um número negativo?

Exemplo: qual o número que, elevado ao quadrado, resulta em -4?

Poderíamos pensar no -2, mas (-2).(-2) = 4 e, com 2.2 acontece a mesma coisa. Logo, é preciso um novo conjunto: o dos números complexos (C) , baseados na unidade imaginária

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. A resposta da pergunta anterior é: o número que elevado ao quadrado resulta em -4 é 2i.

Enfim, ainda não existe um problema proposto que um elemento desse conjunto não consiga resolver.
Podemos representar os conjuntos numéricos por meio de um diagrama:

 

 

 

 

É importante notar a representação dos irracionais, cuja forma mais correta é R - Q, ou seja, os reais menos os racionais.