Enem - Geometria (2) - Questão utiliza uma característica do tangram

Neste artigo, analisaremos a Questão 21 da prova amarela de matemática do Enem 2008. A resolução dessa questão exige conceitos básicos de geometria, bem como observar, cuidadosamente, a posição das peças em cada figura.

É essencial perceber que os formatos das três figuras, produzidos pelas sete peças, são diferentes - mas produzem áreas iguais. Essa é uma das características do tangram, um jogo que permite não só brincar com a produção das formas, mas também com os fundamentos da geometria.

Na Figura 2, percebemos que o lado AB, que é igual a 2 cm, é composto por dois segmentos iguais que correspondem, respectivamente, ao lado do quadrado e ao cateto do triângulo retângulo.

Mas como chegamos a essa conclusão? Olhando para Figura 1 e observando que esse cateto está encostado em um dos lados do quadrado, o que também nos permite concluir que os lados do quadrado e do cateto possuem medidas iguais a 1 cm.

A partir desses dados, calculamos as áreas do quadrado e dos dois triângulos retângulos isósceles (menores), que, nesse jogo, são iguais:

O triângulo retângulo isósceles possui catetos iguais, sendo que um corresponde ao comprimento da base - e o outro, a uma altura que é relativa a essa base. Informação, aliás, que facilita o cálculo da área:

Realizada essa etapa, obtemos a área de três figuras, faltando, agora, as outras quatro.

Observando a Figura 1 e a Figura 2, os mesmos segmentos que formam o lado AB do hexágono, que acabamos de utilizar no cálculo anterior, informam a medida dos catetos dos dois triângulos retângulos isósceles (maiores) que compõem a metade do quadrado da Figura 1.

As medidas dos catetos desses triângulos (verde) serão iguais a 2 cm - e permitirão o cálculo das respectivas áreas:

Agora faltam duas figuras, sendo que uma é um triângulo retângulo isósceles (tamanho médio), enquanto a outra é um paralelogramo.

Observando a Figura 2, vemos que a hipotenusa desse triângulo retângulo médio está encostada no cateto do triângulo retângulo maior - que, como vimos anteriormente, possui 2 cm de comprimento.

Assim, de maneira indireta, temos a informação da medida da hipotenusa do triângulo médio (azul) - e, portanto, o caminho para calcular as medidas dos seus catetos, aplicando o teorema de Pitágoras. Com essas medidas dos catetos, calculamos a área de cada triângulo:

Para terminar, na Figura 2, o lado menor do paralelogramo está encostado no quadrado - e, portanto, terá medida igual a 1 cm.

Agora, a partir do conceito de que a área do paralelogramo é a multiplicação de um dos lados pela altura relativa ao lado que escolhemos para efetuar o cálculo, o desafio será descobrir a medida dessa altura a partir de uma das ilustrações.

Novamente, a Figura 1 é a chave para a informação. O encaixe da hipotenusa do triângulo retângulo pequeno com o lado maior do paralelogramo permite a projeção da altura para o cateto que está encostado no quadrado.

Assim, a medida da altura relativa do lado menor, com 1 cm, é também igual a 1 cm, concluindo que a área do paralelogramo é igual a um centímetro quadrado:

A resolução termina quando somamos a área das sete peças, o que indicará o valor da área da Figura 3, solicitada no problema, que, por sua vez, é igual às áreas das Figuras 1 e 2. A soma dará 8 cm2 - ou seja, a alternativa correta é a B:

Observações

A consequência de variarmos o perímetro de uma figura, mantendo a mesma área, nos permite algumas especulações interessantes.

Imagine um anúncio de jornal em que se vende um terreno com área retangular de 400 m2, por um preço interessante e em uma região acessível. Um leitor fica entusiasmado com o anúncio e sonha construir ali sua casa.

Mas, apesar de ser uma boa área, é preciso tomar cuidado, pois o terreno pode corresponder a um retângulo com 40 m de frente e 10 m de fundo, o que seria bom, mas também pode ter 1 m de fundo e 400 m de frente.

Nesse caso, os dois terrenos possuem a mesma área - mas com as medidas do segundo exemplo é impossível se construir qualquer coisa. No máximo, uma pista para boas caminhadas.

Assim, do mesmo jeito que podemos construir com o tangram do nosso problema figuras com perímetros diferentes, mantendo sempre uma área igual a 8 cm2, podemos também encontrar terrenos com 400 m2 nos formatos mais absurdos.