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Atualizado em 19/12/2012, às 9h16

1. Equação reduzida da circunferência

Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio, de um ponto fixo denominado centro.

Obs.: A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.
 

A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos (x,y) equidistantes do centro C(x_c, y_c da medida R.

Então:

(x - x_c)² + (y – y_c)² = R² → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.

Por exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7) será:

(x – 5)² + (y + 7)² = 8²

Ou:
 

2. Equação geral da circunferência

A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim:

(x – x_c)² + (y –y_c)² = R²

(x² – 2x_cx + x²_c) + (y² – 2y_cy + y²_c ) = R²

Reagrupando: x² + y² – 2x_cx – 2y_c y + x²_c + y²_c – R² = 0

Ou de uma maneira generalizada:

x² + y² + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.

Onde:
 

Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7):

x² + y² – 2 . 5. x – 2 . (–7)y + 5² + (–7)² – 8² = 0
 

3. Determinação de centro e raio a partir da equação geral

Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral

x²y² + mx + nx + p = 0

utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:

Por exemplo, para a circunferência exemplificada,

Logo:

C(5,-7) e o raio R=8.

Veja errata.