Equação irracional - Quando a incógnita se encontra no radicando

A equação irracional é construída a partir de problemas em que a medida desconhecida, a incógnita, é um dos termos do radicando.

Para ilustrar, vamos imaginar a soma do número 2 com um número cujo valor é desconhecido e representado por "x". Se extrairmos a raiz quadrada do resultado dessa soma, obtendo o valor igual a 3, então, qual deverá ser o valor de x?

A tradução desse problema em uma sentença matemática conduz ao que é definido como equação irracional:

$$$$

2 + x = 3

Essa equação exige que retomemos alguns procedimentos e conceitos já conhecidos. São os procedimentos que garantem a resolução de uma equação com segurança - e não é repetitivo lembrar que todas as operações que são aplicadas no primeiro membro de uma equação têm de ser aplicadas também no segundo.

Assim, se elevarmos o segundo membro ao cubo temos de fazer o mesmo com o primeiro membro, a fim de que a igualdade da equação seja mantida, independente da operação que estivermos aplicando.

Na equação irracional, a estratégia adotada é a de tentar eliminar o principal obstáculo da resolução - que, no caso, é o radical.

Dessa forma, para o problema proposto no início desse texto, teríamos a seguinte pergunta: Como retirar a raiz quadrada que está sendo aplicada em x + 2?

A potenciação é a operação inversa da radiciação - e o jogo das operações inversas será um dos recursos utilizados.

Se elevarmos o número sete ao cubo, para logo depois extrairmos a raiz cúbica, obteremos novamente como resultado o valor igual a sete. Elevar ao cubo, ou à terceira potência, é uma operação inversa da raiz cúbica. As duas operações aplicadas, simultaneamente, a uma mesma quantidade, como foi o caso do número sete, não alteram o valor dessa quantidade.

Agora, imagine a situação de extrair a raiz quadrada de 2 + x e depois elevar o resultado ao quadrado. Essas duas operações - de elevar ao quadrado e de extrair a raiz quadrada - se cancelarão, dando como resultado o 2 + x. Esse é o caminho ou a estratégia para diluir o radical do primeiro membro do nosso exemplo:

$${\left(\sqrt{\left(2+x\right)}\right)}^2=2+x$$

A partir dessa iniciativa, temos que nos preocupar em aplicar a mesma operação no segundo membro, para que a igualdade da equação não fique comprometida. Portanto, elevamos ao quadrado, simultaneamente, os dois membros da equação:

Feito isso, teremos como consequência o surgimento das equações (tanto do primeiro como do segundo grau). No nosso caso, as manobras matemáticas produziram uma simples equação do primeiro grau, descrita como 2 + x = 9.

A resolução final, em que obtemos

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ficaria incompleta se não fizéssemos a verificação para o valor de x que acabamos de obter. Esse procedimento está relacionado aos casos em que o índice da raiz da equação é par, não permitindo, dessa forma, um radicando negativo para o campo numérico dos números reais.

Na resolução da nossa equação, a verificação de x = 7 é confirmada, já que o sete, somado ao dois, é igual a nove, e a raiz quadrada de 9 é 3:

Para assimilar melhor os procedimentos para a resolução desse tipo de equação, vamos explorar um outro exemplo, imaginando uma incógnita sendo subtraída em três unidades, dando como resultado a raiz quadrada do quádruplo dessa incógnita:

O procedimento de retirar o radical da equação conduz, neste caso, a uma equação do segundo grau, com uma resolução em que os valores de x são iguais a 9 e a 1. Fazemos a verificação para concluir a resposta final do problema:

O valor de x igual a 9 é possível, pois, com esse valor, a igualdade da equação é testada sem contradição com as regras do conteúdo. Já com x = 1 isso não ocorre, pois a expressão propõe que a raiz quadrada de 4 seja igual a - 2, mostrando um resultado inviável e impossível para o conjunto dos números reais.

Assim, temos como solução final para esse problema o 9 - o único valor possível para x.

A equação irracional é somente mais um tipo de equação - e exige que estejamos atentos às propriedades da potenciação e da radiciação, lembrando que estudar as equações, na verdade, é estudar as regras que possibilitam a igualdade de cada uma delas. Condição esta sempre proposta pelos problemas.