Equações polinomiais - Raízes múltiplas, raízes racionais, reais e complexas

Equações polinomiais

Tomando-se o seguinte polinômio$\mathit{\text{P}}\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ onde $a_n\text{,}{a}_{n-1}\text{,}\dots \text{,}{a}_1\text{,}{a}_0$ são constantes n e é definido como o grau do polinômio.

Por exemplo: $\mathit{\text{P}}\left(x\right)=x^4+7x^3+6x^2-7x+8=0$

Define-se como raiz α se e somente se $\mathit{\text{P}}\left(a\right)=0$ .

Obs.: Note que ao se igualar um polinômio a zero $\mathit{\text{P}}\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_{\mathrm{0=0}}$ =0 ele se transforma em uma equação polinomial.

Também se pode decompor o polinômio $\mathit{\text{P}}\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ em n fatores de primeiro grau:

$\mathit{\text{P}}\left(x\right)=a_n\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right)\left(x-a_3\right)\dots \left(x-a_n\right)$ onde $a_1\text{,}{a}_2\text{,}\dots \text{,}{a}_n$ são raízes da equação polinomial.

a. Raízes múltiplas

Pode ocorrer que uma ou mais raízes sejam iguais, nesse caso essas raízes são definidas como múltiplas, por exemplo:

Note a multiplicidade da raiz 1 (2 vezes) e da raiz 2 (3 vezes). Denomina-se que a equação polinomial $\mathit{\text{P}}\left(x\right)$ possui a raiz 1 com multiplicidade 2, a raiz 2 de multiplicidade 3 e a raiz 8 de multiplicidade 1.

b. Raízes complexas e reais

"Toda equação polinomial, de grau n, com n ≥ 1 possui pelo menos 1 raiz complexa (real ou imaginário)".

Obs.: Lembrar que os números complexos englobam os números reais, ou seja, um número real é também um número complexo.

"Toda equação polinomial que possua uma raiz imaginária possuirá também o conjugado dessa raiz como raiz".

Ou seja, se $z=a+b\mathit{\text{i}}$ é raiz de uma equação polinomial $z=a-b\mathit{\text{i}}$ também será raiz. Sendo $a\text{,}b\in ?$ e ${\mathit{\text{i}}}^2=-1$ .

Exemplo: Sabendo-se que a equação polinomial $x^3-2x^2+x-2=0$ possui uma raiz imaginária igual a i, com ${\mathit{\text{i}}}^2=-1$ encontrar as outras raízes.

Se i é uma raiz então -i, seu conjugado, é outra e consegue-se encontrar a terceira raiz que é 2.

c. Raízes racionais

"Se um número racional $\frac{\text{p}}{\text{q}}$ , com p e q primos entre si, é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros do tipo $\mathit{\text{P}}\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ então p é divisor de $a_0$ e q é divisor de $a_n$ ".

Exemplo:

$\mathit{\text{P}}\left(x\right)=2x^3-x^2+2x-1$ , pesquisar as possíveis raízes racionais.

$a_n=a_3=2\\ a_0=-1$

$\mathrm{As\; possíveis\; raízes\; serão:}$

$\mathrm{}\\ \{1\text{,}\frac{1}{2}\text{,}-1\text{,}-2\}$

Testando para o polinômio $\mathit{\text{P}}\left(x\right)$ verifica-se que somente $\mathit{\text{P}}\left(\frac{1}{2}\right)=0$ , sendo essa e a raiz racional do polinômio.

Note que os coeficientes da equação polinomial obrigatoriamente devem ser números inteiros.