Frações - multiplicação - Fração de uma outra fração

Nos problemas com frações não faltam situações em que temos de calcular a fração de uma outra fração a partir da pergunta: quanto é 2/3 de 1/2? Uma pergunta que, ao ser bem interpretada, conduz à regra da multiplicação de frações.

Imagine um estoque com 900 livros, sendo que um terço é de matemática - e que, ao serem colocados na prateleira, observa-se que um quinto pertence à sexta série do Ensino Fundamental. Quantos livros de matemática da 6^a série há nesse estoque?

Seguindo o conceito de fração, calculamos 1/3 de 900, tendo como resultado a quantidade de 300 livros. Logo depois, calculamos 1/5 de 300 e obtemos a resposta final, de 60 livros. Lembrando que um terço e um quinto são sinônimos, respectivamente, de terça parte e quinta parte podemos escrever, matematicamente, que:

1/3 de 900 = 900:3 = 300 ==> 1/5 de 300 = 300:5 = 60.

Dividir 900 por 3 para depois dividir o resultado dessa divisão por 5 é o mesmo que fazermos uma única divisão de 900 por 15. Se você tiver dúvida em relação a esse procedimento, verifique com lápis e papel que (900 : 3) :5 = 900:15 = 60.

Divisores e denominadores são sinônimos, já que são usados para repartir uma determinada quantia. Dessa forma, as duas expressões acima são reescritas em uma única expressão, mostrando que os denominadores podem ser multiplicados gerando uma única fração:

A partir dessa consequência, de multiplicarmos os denominadores, analisaremos o que acontece com os numeradores no mesmo tipo de problema. Para isso, vamos alterar alguns dados, considerando que 2/3 dos livros no estoque são de matemática e que 4/5 desses livros são da quinta série. A partir dessas novas informações, qual será a quantidade de livros de matemática de quinta série? Observando os procedimentos anteriores, encaminhamos a resolução:

Para aprendermos os procedimentos e conceitos matemáticos temos que estar sempre retomando as ideias principais, a fim de interpretarmos o que está sendo mostrado. Faz parte dos conceitos mais básicos, relacionados ao conteúdo das frações, saber que, na soma de frações com denominadores iguais, mantemos o valor do denominador e somamos os numeradores. Além disso, em uma soma de frações iguais, essas frações podem ser consideradas parcelas - e a operação será transformada em uma multiplicação:

Desse modo, fazendo as substituições necessárias no problema anterior, obtemos:

A ordem dos fatores não altera o produto; e, para este caso, ajuda a mostrar que os numeradores 4 e 2, das respectivas frações 4/5 e 2/3, podem ser multiplicados:

Como já sabemos que os denominadores, nesse tipo de problema, se multiplicam, concluímos que:

Relembrando as propriedades e as observações já apresentadas, sabemos que oito vezes quinze avos é equivalente a oito quinze avos, conduzindo ao cálculo de que oito quinze avos de 900 é igual a 480:

Estes dois problemas que acabamos de mostrar servem de exemplo para ilustrar que a fração de uma outra fração gera multiplicação entre os denominadores e entre os numeradores.

Mostra também que podemos economizar etapas, com manobras mais rápidas nos cálculos, principalmente se estiver sendo exigido somente o cálculo, como na questão: Quanto é três sétimos de quatro nonos?

Vamos concluir esta análise de multiplicação de frações. Se, no problema anterior, tivéssemos a situação desagradável de constatar que um sexto dos livros de matemática da quinta série estavam com defeito de edição, teríamos de fazer a pergunta: quantos livros terão de ser repostos?

Em vez de calcularmos primeiro 2/3 de 900, para depois fazermos 4/5 de 60 e 1/6 de 480, com a conclusão de que deverão ser repostos 80 livros, tomamos o atalho de multiplicarmos as três frações, aplicando o resultado dessa multiplicação na quantidade inicial de livros:

As regras são elaboradas para facilitar o cálculo. No entanto, é necessário compreendermos o significado de cada uma delas para que possamos aplicá-las com segurança. Essa é a melhor regra para aprendermos matemática.