Futebol e matemática - A geometria do pênalti

No campo de futebol, dentro da grande área, há uma marca a 11 metros do ponto médio da linha do gol, para que seja feita a cobrança de uma falta chamada "pênalti". O goleiro fica sobre essa linha, entre duas traves que são paralelas, com uma distância entre elas de 7,32 metros, e sob uma terceira trave, cuja borda fica a 2,44 metros do solo.

Com essas informações, para realizar uma análise geométrica utilizaremos a cor azul para as traves verticais, a cor laranja para a trave que fica sobre a cabeça do goleiro e a cor vermelha para representar a distância de 11 metros da marca do pênalti até a linha do gol:

A cobrança usual do pênalti é feita por meio de um tiro direto, e uma das consequências é que a trajetória da bola, em função da distância e da velocidade, pode ser considerada, em grande parte das experiências, uma linha reta. Assim, faremos a visualização da vista lateral desses chutes, pontilhando as trajetórias das bolas em direção ao gol:

No esquema dessa vista lateral, identificamos vários triângulos retângulos, nos quais a linha vermelha e a trave azul são os catetos, enquanto que a linha pontilhada é a hipotenusa. Das três medidas, somente o cateto de cor vermelha é constante, com valor igual a 11 metros, enquanto que as outras duas mudam de valor conforme o ângulo formado entre a linha pontilhada e a linha vermelha.

Para organizar o nosso estudo, representaremos esse ângulo pela letra G; a medida da altura que a bola passa pela trave por y (cor azul); e o comprimento da linha pontilhada por x:

As relações matemáticas entre essas medidas, sejam elas constantes ou variáveis, podem ser exploradas a partir das definições do cosseno, do seno e da tangente, tendo como referência o ângulo G. No entanto, se quisermos descobrir o valor aproximado de G, para que a bola passe rente à parte inferior da trave que se encontra sobre a cabeça do goleiro, perceberemos que, para essa situação limite, a tangente será o melhor recurso, pois evita o cálculo da hipotenusa:

Com a informação de que o valor máximo de y é 2,44 metros, calculamos o valor da tangente de G e, logo depois, o valor aproximado de G (por meio de uma tabela):

Concluímos que o ângulo G deverá estar no intervalo de 0^o (bola rasteira) chegando ao valor máximo aproximado de 13^o no plano vertical da vista lateral. Os valores possíveis desses ângulos são interpretados também como as linhas de latitude da bola em direção ao gol. Podemos indicar alguns desses valores no nosso desenho, por meio de linhas também pontilhadas:

Vamos agora analisar essa cobrança de pênalti vista de cima. Dessa posição vemos a trave cor laranja, que fica sobre a cabeça do goleiro, e a linha vermelha, que representa a distância da marca do pênalti até o gol. Novamente identificamos vários triângulos retângulos, só que, dessa vez, em um plano horizontal, e em regiões simétricas, tendo a linha vermelha como eixo.

Para esta nova posição, definiremos como K o ângulo formado entre a linha pontilhada da trajetória da bola e a linha vermelha. Assim, podemos escrever a tangente desse ângulo, não esquecendo que deveremos explorar tanto do lado esquerdo como do lado direito do jogador que está cobrando o pênalti.

Qual será o valor aproximado do ângulo K para o jogador marcar um belo gol rente à trave direita do goleiro? O primeiro passo é interpretar o valor máximo do cateto oposto a K, que, nessa condição também limite, será a metade do tamanho da trave laranja:

7,32 : 2 = 3,66 m

O valor da tangente de K que será a razão do cateto adjacente, igual a 11 metros, pelo valor máximo do cateto oposto, que, como vimos, é igual a 3,66 m. Com mesmo procedimento anterior, calculamos o valor da tg K e, por meio de uma tabela, achamos o valor aproximado de K:

Assim, esse ângulo K poderá ser explorado tanto do lado esquerdo como do lado direito de quem está cobrando o pênalti, no intervalo de 0^o a 19^o. Essas medidas também são interpretadas como longitude da bola ao ser chutada a gol. Novamente indicaremos parte desses valores por meio de linhas pontilhadas:

Com lápis e papel, agora você pode explorar os conceitos de latitude e longitude, para se divertir com as possíveis posições da bola colocada pelo cobrador do pênalti. Será que em uma latitude de 10^o e longitude 17^o à direita, o goleiro defende?