Geometria analítica - Introdução - Entenda a nomenclatura utilizada

Helena Meidani, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Construímos gráficos em planos cartesianos, que se chamam assim por causa do filósofo francês René Descartes (1596-1650).

Grande parte da obra de Descartes é consagrada às ciências, sobretudo a matemática e a ótica; e, desde os 23 anos, ele aplicou a álgebra à geometria, tendo criado um método matemático geral que relaciona técnicas algébricas e figuras geométricas.

Depois de algumas transformações, esse método é conhecido hoje como Geometria Analítica e usa o plano cartesiano para estudar figuras geométricas por meio de equações.

O princípio fundamental da geometria analítica foi enunciado por um contemporâneo de Descartes, Pierre de Fermat (1601-1665): "Em geral, a toda equação de duas variáveis corresponde uma curva no plano". Assim, através da geometria analítica, é possível dar uma interpretação geométrica a equações com duas variáveis.

Plano cartesiano

O plano cartesiano é composto por dois eixos ortogonais (perpendiculares), onde cada ponto P é indicado por um par ordenado de números (X_P; Y_P):

Nesse plano, definem-se:

o sistema cartesiano de eixos ortogonais: xOy
a origem do sistema: o ponto O
o eixo das abscissas Ox (horizontal)
o eixo das ordenadas Oy (vertical)
a abscissa do ponto P: o número real x_P
a ordenada do ponto P: o número real y_P

as coordenadas do ponto P: o par ordenado (x_P; y_P)

No eixo Ox, os pontos à direita da origem têm abscissa positiva e os pontos à esquerda, negativa. Analogamente, no eixo Oy, os pontos acima da origem têm ordenada positiva e os pontos abaixo, negativa.

Quadrante é cada uma das quatro regiões angulares em que o sistema de eixos xOy divide o plano, e eles são numerados, a partir do primeiro, em sentido anti-horário, como se vê na figura e no quadro abaixo:

Linguagem matemática	Linguagem corrente
$P \in I \Leftrightarrow x_{P} > 0$ e $y_{P} > 0$	Se P pertence ao I quadrante, tem abscissa e ordenada positivas.
$P \in II \Leftrightarrow x_{P} < 0$ e $y_{P} > 0$	Se P pertence ao II quadrante, tem abscissa negativa e ordenada positiva.
$P \in III \Leftrightarrow x_{P} < 0$ e $y_{P} < 0$	Se P pertence ao III quadrante, tem abscissa e ordenada negativas.
$P \in IV \Leftrightarrow x_{P} > 0$ e $y_{P} < 0$	Se P pertence ao IV quadrante, tem abscissa positiva e ordenada negativa.
$P \in Ox \Leftrightarrow y_{P} = 0$	Se P pertence ao eixo horizontal, tem ordenada nula.
$P \in Oy \Leftrightarrow x_{P} = 0$	Se P pertence ao eixo vertical, tem abscissa nula.
$O \in Ox I Oy$	A origem pertence à intersecção do eixo horizontal com o eixo vertical.

Se uma reta é paralela ao eixo das abscissas, todos os seus pontos têm a mesma ordenada; e, se uma reta é paralela ao eixo das ordenadas, todos os seus pontos têm a mesma abscissa.

Considerando as bissetrizes dos ângulos retos formados pelo sistema xOy, chama-se b₁₃ à reta bissetriz dos quadrantes ímpares, e b₂₄ à dos quadrantes pares:

Em b₁₃, todos os pontos têm coordenadas iguais; em b₂₄, coordenadas opostas:

P \in b_{13} \Leftrightarrow x_{P} = y_{P}

P \in b_{24} \Leftrightarrow x_{P} = {- y}_{P}

A associação de pontos com números é a base da geometria analítica, também chamada geometria algébrica ou de coordenadas.

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