Módulo ou valor absoluto - Calculando o módulo

Considere a reta real:

Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.

Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos

|4| = 4

Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:

|-2| = 2

Outros exemplos:

|3| = 3

|-7| = 7

|0| = 0

|-1| = 1

Vamos generalizar:

Qual é o módulo de um número qualquer x?

|x| = ?

A resposta é: depende!

Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado).

Portanto, |x| = x, se x for um número positivo e |x| = -x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.
Ou:

Propriedades do Módulo

1) |a| = |-a|, para todo a real

Não é difícil constatar isso. Observe:

|2| = 2

|10| = 10

|-5| = 5

|-2| = 2

|-10| =10

|5| = 5


2) |x²|=|x|² = x², para todo x real

Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo.

a) para x = 5

5² = 25

|5|² = 5² = 25

|5²|=|25|= 25

b) para x = 0

0² = 0

|0|² = 0² = 0

|0²|=|0|= 0

c) para x = -3

(-3) ² = 9

|-3|² = 3² = 9

|(-3) ²|=|9|= 9

Associada a essa propriedade está o fato de que $$\sqrt{x^2}=\left|x\right|$$CUIDADO! É errado pensar que $$\sqrt{x^2}=x$$ Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.

Veja:

Para x = 7

Para x = -2

3) |a . b|=|a|.|b|, para quaisquer a e b reais

Veja:

a) a e b positivos

a = 3 e b = 5

|3 . 5|= |15|= 15

|3|.|5|= 3 . 5 = 15

b) a e b de sinais opostos

a = -2 e b = 4

|-2 . 4|= |-8|= 8

|-2|.|4|= 2 . 4 = 8


c) a e b negativos

a = -7 e b = -10

|-7 . (-10)|= |70|= 70

|-7|.|-10|= 7 . 10 = 70


4) |a + b|≤|a|+|b|, para quaisquer a e b reais

a) a e b positivos

a = 6 e b = 5

|6 + 5|= |11|= 11

|6|+|5|= 6 + 5 = 11

|6 + 5|=|6|+|5|

b) a e b de sinais opostos

a = -5 e b =1

|-5 + 1|= |-4|= 4

|-5|+|1|= 5 + 1 = 6

|-5 + 1|<|-5|+|1|

c) a e b negativos

a = -8 e b = -3

|-8 + (-3)|= |-11|= 11

|-8|+|-3|= 8 + 3 = 11

|-8 + (-3)|= |-8|+|-3|


5)||a|-|b||≤|a - b|, para quaisquer a e b reais

d) a e b positivos

a = 4 e b = 1

||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3

|4 - 1|= |3|= 3

||4|-|1||=|4 - 1|

e) a e b de sinais opostos

a = -1 e b =9

||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8

|-1 - 9|= |-10|= 10

||-1|-|9||<|-1 - 9|

f) a e b negativos

a = -10 e b = -3

||-10|-|-3||=|10 - 3|= |7|= 7

|-10 - (-3)|= |-7|= 7

||-10|-|-3||=|-10 - (-3)|

g) a e de sinais opostos

a = 4 e b = -3

||4|-|-3||=|4 - 3|= |1|= 1

|4 - (-3)|= |7|= 7

||4|-|-3||<|4 - (-3)|

Além dessas propriedades, não é difícil verificar que |a - b|=| b - a|, para quaisquer a e b reais.

Exercícios resolvidos

1) Calcular:

a) |6|+ 1 = 6 + 1 = 7

b) |-5|+ 9 = 5 + 9 = 14

c) |-10|- 1 = 10 -1 = 9

d) |-6|- |-2| = 6 - 2 = 4

e) |0,2 - 0,9|= |-0,7|= 0,7

f) $$|2-\sqrt{5}|=-\left(2-\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}-2 \text{,}\text{pois }2-\sqrt{5<0}$$
g) |3 - x|, para x = -3

|3 - x|= |3 - (-3)|= |6|= 6

h) $$|1-\sqrt{2}|+|1+\sqrt{2}|$$
Note que $$1-\sqrt{2}<0$$ . Assim:

2) Escrever uma expressão equivalente sem o módulo:

a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer

b) |x - 6|, com x > 6

Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva.
Logo, nesse caso, |x - 6|= x - 6.

c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3

Como x > 3, as duas expressões são positivas.
Logo, nesse caso, |x - 1|+ |x - 3|= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.

3) Achar os possíveis valores de x, em cada caso:

a) x = | - 1|

Resposta: x = 1

b) |x|= 1

Resposta: x = 1 ou x = -1, pois |1|= |-1|= 1

c) |x|= -1

Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo.

d) X² = 36

Resposta: x = 6 ou x = -6

e) |x|= |-2|

Resposta: x = -2 ou x = 2, pois |2|= |-2|= 2