Parábola (1) - Estudo do gráfico da função quadrática

Como se viu em Funções 2 a parábola representa o gráfico da função de 2° grau. Mas este gráfico pode ter algumas variações que serão estudados agora e este estudo facilitará a construção do gráfico.

A função de 2°grau ou função quadrática é definida pela expressão:

com a, b e c pertencendo ao conjunto dos números reais e $$a\ne 0$$.Estudo da concavidade
Veja os gráficos de

, respectivamente:

Note que quando o a é positivo a concavidade da parábola é para cima e quando é negativo a concavidade é para baixo, isto para qualquer a.

Estudo da intersecção da parábola com os eixos x
Sabendo-se que

, o estudo do sinal de $$\Delta$$ determina a intersecção com o eixo dos x.

Esta intersecção se dá quando o

. Logo, os pontos no eixo x são as raízes da função.

Quando o $$\Delta >0$$, existem duas raízes reais e haverá dois pontos de intersecção, veja o exemplo:

Calculando-se o

Δ

, tem-se que:

Logo, o $$\Delta$$ é positivo e haverá dois pontos de intersecção, que serão as raízes (1 e 4), e como o $$a>0$$ (a é positivo) a concavidade é para cima e o gráfico é:

Para $$\Delta =0$$, a função tem somente uma raiz e tangencia o eixo dos x, veja:

A raiz é 2, logo a parábola tangenciará neste ponto.

E finalmente com $$\Delta <0$$ , em que a função não possui raízes:

Lembrando-se que o$$a<0$$, tem-se os mesmos resultados, porém com a concavidade para baixo.

Coordenadas do vértice
As coordenadas do vértice são:

sendo

Finalmente com as coordenadas do vértice e as regras acima descritas a confecção do gráfico se torna muito mais fácil.