Potenciação - expoente negativo - Um modo fácil de lidar com ele

• Expoente zero

Qual a diferença entre $$3^2\text{e }{3}^{-2}$$ ? No primeiro caso, aprendemos que é 3x3=9. Mas, e no segundo? O expoente negativo causa estranhamento e, para interpretá-lo, temos que recorrer a uma das propriedades da potenciação.

A propriedade que possibilita a explicação desse fato surge na divisão entre potências em que a base do dividendo é igual à base do divisor. Essa condição permite, como forma de simplificação, subtrairmos o expoente do dividendo pelo expoente do divisor. Assim, em uma operação como $$2^6\text{:}{2}^3$$ , em vez de fazermos $$2^6\text{:}{2}^3=64\text{:}8=8$$ , teremos como opção: $$2^6\text{:}{2}^3=2^{6-3}=2^3$$ .

É essencial, na aplicação dessa propriedade, estar atento para que o expoente do dividendo seja sempre subtraído pelo expoente do divisor. Se invertermos a posição dos expoentes, estaremos invertendo a ordem da operação, isto porque $$2^6\text{:}{2}^3\ne 2^3=2^6$$ , já que $$64\text{:}8\ne 8\text{:}64$$ .

Diferente da multiplicação - em que a ordem dos fatores não altera o produto -, na divisão, se trocarmos a ordem das posições entre o dividendo e o divisor, estaremos invertendo o resultado. Os dois exemplos anteriores estimulam esse tipo de observação: $$2^6\text{:}{2}^3=64\text{:}8=8$$ e $$2^3\text{:}{2}^6=8\text{:}64=\frac{1}{8}$$ .

A inversão da posição entre o dividendo e o divisor pode ser indicada pelo sinal do expoente, se a propriedade for bem aplicada. No exemplo em que $$2^6\text{:}{2}^3$$ é igual $$2^{6-3}=2^3$$ , se invertermos a ordem da operação, teremos $$2^3\text{:}{2}^6=2^{3-6}=2^{-3}$$ . Como já temos a informação de que $$2^3\text{:}{2}^6=\frac{1}{8}$$ , podemos reescrever que $$2^{-3}=\frac{1}{8}$$ .

Estratégia para trocar o sinal

Lembrando que o inverso de $$\frac{1}{8}$$ é 8, e que este pode ser escrito na forma $$\frac{8}{1}$$ , podemos afirmar que inverter um número é dar-lhe uma boa cambalhota. Assim, o inverso do $$\frac{1}{2}$$ é 2 e do $$\frac{3}{2}$$ é $$\frac{2}{3}$$ , o que nos estimula a um jogo que ajudará a construir uma regra para calcularmos potências com expoentes negativos.

Inverter a base será uma estratégia para trocarmos o sinal do expoente, uma estratégia que pode ser mostrada a partir de um exemplo bem simples, com a pergunta: qual o valor de $$3^2\text{:}{3}^4$$ ?

Um caminho de resolução bem conhecido para esse caso é fazermos $$9\text{:}81=\frac{1}{9}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$$ . No entanto, se aplicarmos a propriedade da potenciação, teremos outro caminho, dado por $$3^2\text{:}{3}^4=3^{2-4}=3^{-2}$$ . Analisando esses dois caminhos, consequências de uma mesma pergunta, concluímos que $$3^{-2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$$ . Uma conclusão com uma igualdade que mostra bases invertidas e expoentes de sinais trocados.

Esse tipo de conclusão, a partir dos mais variados exemplos, conduz com bastante firmeza a uma regra: podemos trocar o sinal do expoente se, simultaneamente, invertermos a base.

Poder trocar o sinal do expoente invertendo a base facilita e agiliza o cálculo de potências com expoentes negativos. As manobras matemáticas ficam mais rápidas.

Qual o valor de $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$$ ? Basta invertermos a base, que passa a ser 2, trocando simultaneamente o sinal do expoente para +3 ou 3. Assim, $${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$$ é igual a $${\left(2\right)}^3=2\text{.}2\text{.}2=8$$ . Para finalizar os exemplos, podemos fazer mais uma pergunta: Qual é o valor de $${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-2}$$ ? Respondemos com $${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$$ , para logo depois fazermos $$\frac{2}{3}\text{.}\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$$ .

O sinal negativo de um expoente não passa de um código que está nos alertando que a base está invertida. Com essa nova interpretação, a regra do expoente negativo se transforma em uma regra simples e fácil de ser aplicada no jogo matemático. Mas não esqueça: foi uma propriedade que a gerou.