Progressão aritmética - Propriedades úteis na resolução de problemas

As progressões aritméticas (PA) possuem algumas propriedades que são bastante úteis na resolução de problemas, principalmente alguns propostos nos vestibulares.

1ª propriedade: soma dos termos equidistantes.

Numa PA, os termos opostos, ou equidistantes, ou seja, os que estão à mesma distância do termo central da PA, têm a mesma soma.

2ª propriedade: média aritmética.

Observe a PA infinita (3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmos três de seus termos:

e fizermos

, ou seja, se tirarmos a média aritmética dos termos "da ponta", obteremos

,
que é o termo do meio.

E isso também acontece para quaisquer três termos consecutivos da PA.

No caso de uma PA com um número ímpar de termos, essa propriedade vale para termos opostos:

Há também duas observações que não consideradas propriedades, mas facilitam a resolução de problemas.

1ª observação: PAs desconhecidas de 3, 4, ou 5 termos.

Sempre que um exercício se referir a uma PA desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:

3 termos - (x - r, x, x + r)

4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)

5 termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)

Assim, evita-se o uso de muitas incógnitas, pois o natural seria utilizar a, b, c, d, e para os termos desconhecidos.

2ª observação: decompor os termos em função do 1º termo e da razão.

Em problemas que se referem a termos aleatórios de uma PA, por exemplo,

, é útil diminuir o número de incógnitas, decompondo esses termos por meio da fórmula do termo geral.

Assim, utiliza-se $$a_1+\text{r}$$ no lugar de $$a_2$$$${}_{\mathrm{}}$$e $$a_1+9\text{r}$$

no lugar de $$a_{10}$$

.

Exercícios resolvidos

1) Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32).

Nesse caso, utilizaremos a propriedade da média aritmética para resolver o problema.

Assim, sabemos que

Resolvendo a equação, temos:

Logo, a PA é

E sua razão é

2) Sabe-se que, numa PA, $${\text{a}}_3+a_6=29$$

$$\mathrm{}$$ e $${\text{a}}_4+a_7=35$$ . Determine-a.

Utilizaremos a 2ª observação para resolver esse problema.

Note que, ao invés de 4 incógnitas, temos agora apenas duas!

Assim,

Temos o sistema:

Subtraindo a segunda da primeira equação, obtemos:

-2r = -6
r = 3.

Substituindo r na primeira igualdade, acharemos a₁:

E a PA fica determinada: (4, 7, 10, 13, 16, ...).