Radiciação - Regras da potenciação

Imagine abrir um livro de matemática e encontrar a expressão abaixo:

Lemos que x é a raiz sexta de 729, sendo que, nesse número, está sendo aplicada uma operação conhecida como radiciação. A radiciação é a operação inversa da potenciação - e pode ser interpretada como consequência de uma potenciação em que não conhecemos o valor da base.

Para ilustrar melhor a relação entre essas duas operações inversas utilizarei a pergunta que gerou a curiosa expressão no inicio deste texto: qual o número que, elevado a seis, é igual a 729?

A álgebra - que é sempre um bom recurso para esse tipo de pergunta - transforma essa pergunta em uma equação, utilizando a estratégia de representar, por meio de letras, as quantidades ou as medidas desconhecidas:

Resolver uma equação é calcular o valor da incógnita proposta pelo problema. Para isso são aplicados artifícios e manobras do pensamento matemático que, no nosso caso, terão de envolver as propriedades da potenciação.

Uma dessas manobras é a da potência elevada a uma outra potência. Em vez de aplicarmos duas vezes o conceito de potenciação (exemplo a), simplificamos o caminho multiplicando diretamente os expoentes (exemplo b):

Com essa propriedade, podemos construir um caminho para resolver a nossa equação do x elevado a seis que é igual a 729:

Observando o expoente 6, somos instigados, pela propriedade já mostrada, a multiplicar o expoente seis pelo seu inverso, a fim de obter resultado igual a 1. Para que isso ocorra, temos de elevar a potência do primeiro membro, x elevado a seis, a um sexto. Essa iniciativa constrói um caminho confortável para acharmos o valor de x:

O desafio passa a ser o de eliminar o expoente do primeiro membro sem causar a desigualdade na equação. Com essa preocupação, tudo o que for feito no primeiro membro terá que ser feito no segundo membro, e vice-versa. É um dos princípios que mantém a igualdade de uma equação e que organiza caminhos para a sua resolução. Dessa forma, elevamos os dois membros da nossa equação a um sexto:

Feito isso, fazemos a fatoração de 729. Já que estamos trabalhando com as propriedades da potenciação, tudo que for escrito com expoente servirá de suporte nas aplicações dessas propriedades. O resultado da fatoração de 729 é três elevado a seis:

Assim, aplicamos novamente a propriedade da potenciação de multiplicar os expoentes, com as respectivas simplificações, obtendo o valor simplificado de x:

Um outro caminho é realizar primeiro a fatoração - e depois as manobras com os expoentes. Qual é o número que, elevado a seis, é igual a 16?

Percebemos que, no exemplo acima, temos a simplificação do expoente de 4/6 para 2/3. Um resultado que mantém o expoente fracionário, na condição deste não poder mais ser simplificado. Esse expoente fracionário conduz a uma importante informação, que auxilia na interpretação da radiciação. O expoente fracionário pode ser representado de uma outra forma. A matemática possui esses detalhes em sua linguagem:

O denominador do expoente fica na forquilha do radical (símbolo da operação) e será chamado de índice. Já o numerador fica como sendo o expoente do número que está dentro da raiz, que é conhecido por radicando.

Então, no exemplo acima, o 4 é o radicando, o 3 é o índice e o resultado da operação, representado por x, é a raiz. A operação não sendo exata, como neste exemplo, significará que não foi possível transformar, por simplificações, o expoente fracionário em um número inteiro. Dessa forma, ele se manterá fracionário e poderemos deixá-lo indicado no radical, como acabamos de descrever.

A raiz quadrada de 2 ou a raiz cúbica de 7 são alguns dos infinitos exemplos desses casos. Eles irão gerar um novo tipo de número, que será classificado como irracional. Um tema para ser aprofundado em uma outra ocasião.