Funções modulares (2) - Variações da função e estudos de gráficos

Sabe-se que

Portanto, a função modular mais simples é a função $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|$$ .
Duas variações dessa função são mais conhecidas:

No primeiro caso, o parâmetro a provoca um deslocamento (uma translação) horizontal de +a unidades, caso a seja negativo e, no caso de a ser positivo, uma translação de -a unidades.

No segundo caso, o parâmetro a provoca um deslocamento (uma translação) vertical de +a unidades, caso a seja positivo e, no caso de a ser negativo, uma translação de -a unidades.

Vamos agora estudar mais variações dessa função, construindo os gráficos das funções:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

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• caso $$\left|a\right|>1$$ , a função "fecha", a exemplo do que aconteceu nos exemplos 2, 3 e 5;
• caso $$0<\left|a\right|<1$$ , a função "abre", a exemplo do que aconteceu no exemplo 4.
  
  Em funções da forma $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=a\left|x\right|$$ :
• caso $$a >1$$ , função "fecha", a exemplo do que aconteceu nos exemplos 6;
• caso $$a<0$$ , a função sofre simetria em relação ao eixo das abscissas, ou seja, ela é refletida com relação ao eixo horizontal, como no exemplo 7;

já no caso de $$0<a<1$$ , a função "abre", coincidindo com funções como a do exemplo 4.

Reunindo agora tudo que sabemos, vamos aos exemplos:

1) Construir o gráfico da função $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=2|x+1|$$ .

Assim, o gráfico da função representa uma translação de -1 unidade na horizontal do gráfico de $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|$$ e, posteriormente, o mesmo "fecha" (de forma que cada ponto tenha o dobro da distância em relação ao eixo x), em virtude de ter sido multiplicado por 2.

2) Construir o gráfico da função $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=3|x+2|-1$$ .

Aqui, a função $$\mathit{\text{f}}\left(x\right)=\left|x\right|$$ sofreu uma translação horizontal de -2 unidades e, posteriormente, "fechou" (de forma que cada ponto passe a ter o triplo da distância do eixo x). Por fim, sofreu translação vertical de -1 unidade (desceu).