Progressão aritmética (PA) - Fórmula da soma e do termo geral

• Progressão geométrica

Imagine um casal de coelhos recém nascidos, supondo que após um mês esse casal possa procriar e gere um novo casal de coelhos. Por sua vez, esse novo casal, após um mês, dava origem a um novo casal. Supondo que a cada procriação não haja nenhuma morte, quantos coelhos seriam gerados em seis meses?

De acordo com o enunciado do problema, temos a seguinte progressão de números:

Note que cada número é igual à soma dos dois anteriores. Essa é a famosa sequência de Fibonacci, com aplicações em diversas áreas. No exemplo acima tem-se que o primeiro elemento, a₁ = 1; o segundo,a₂ = 1, a₃ = 2 etc. Logo, a seqüência será

Clique para acessar conteúdo externo

Lei de formação

Para uma sequência ser lógica, ela precisa ter uma lei de formação que determine qual será lógica de seu escalonamento.

Por exemplo: na sequência de Fibonacci, a regra é que o número seguinte será sempre a soma dos dois anteriores.

Uma curiosidade: Em (2,3,5,7,11,13,17,...) a sequência dos números naturais primos, a fórmula que possibilita achar o próximo número, ainda não foi descoberta, você se habilita?

Veja as seguintes sequências:

a) (1,3,5,7,9,11...)

b) (40,35,30,25,20,15,10,5,0,-5,-10,...)

A lei de formação da seqüência a) é somar 2 ao número anterior, e na b) diminuir 5.

Toda seqüência em que a diferença entre um número e seu anterior é constante recebe o nome de Progressão Aritmética, ou, simplificadamente, é conhecida pela abreviatura P.A..

A diferença entre os termos é chamado de razão r.

Fórmula do enésimo termo

Pela definição de P.A., a fórmula do segundo termo é:

Logo pode-se deduzir que para um termo qualquer

Clique para acessar conteúdo externo

Fórmula da soma de um a P.A.

Um professor de matemática, tentando manter a classe quieta, propôs um problema: somar todos os números de 1 a 100. Para a surpresa do professor, logo em seguida, um aluno, Karl Friedrich Gauss (mais tarde um grande matemático) deu a resposta: 5.050.

Surpreso, o professor perguntou como Gauss conseguira o resultado tão rapidamente e ele explicou seu raciocínio:

Ele notou que o 1^o número mais o último era igual a 101 e que o 2^o mais o penúltimo também era igual a 101:

como existem 50 destes termos tem-se:

Logo, ele descobriu a seguinte fórmula da soma de termos de uma P.A.:

Devem ter sido uns anos bem difíceis para o professor de Gauss, ou será que ele aprendeu muito com seu aluno?