Sequência de Fibonacci - Número tende a proporção áurea

Na natureza, alguns fenômenos parecem obedecer a um padrão numérico - como é o caso a velocidade com que os coelhos se reproduzem. O mais intrigante é que esses números guardam, entre si, uma proporção áurea. Essa sequência de números é chamada de sequência de Fibonacci.

Imagine um retângulo áureo. Se o retângulo menor é semelhante ao inicial, ele pode também ser dividido em um quadrado e um retângulo semelhante, e assim por diante:

Obtemos, assim, uma sequência de valores que são os lados dos retângulos áureos obtidos por divisão:
..., a, b, a - b, 2b - a, 2a - 3b, 5b - 3a, ...

Quaisquer dois termos dessa sequência podem ser os lados de um retângulo áureo.

Segmentos áureos podem ser encontrados em circunstâncias menos esperadas (por exemplo, na construção do pentágono regular, do decágono regular e do pentagrama; tal ocorrência tão intrigante parece ter sido determinante na escolha do pentagrama para "logotipo" dos pitagóricos).

Uma coincidência entre a sequência de medidas "áureas" e o problema de Fibonacci é, no mínimo, espantosa:

"Um casal de coelhos pode reproduzir-se após dois meses de vida e, a partir daí, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais existirão ao final de um ano?"

Esse problema deu origem à chamada sucessão de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... onde cada termo é a soma dos dois termos anteriores.

Fibonacci é outro nome de Leonardo de Pisa, eminente matemático do século 11.

Você consegue perceber a relação entre esta sequência e a dos lados dos retângulos áureos?

À medida que o número de retângulos gerados dessa maneira avança, a relação entre as suas medidas se aproxima de $$\Phi$$ :