Circunferências - Definição e propriedades

Circunferência é o lugar geométrico dos pontos que distam r de um ponto o dado, sendo r uma constante real positiva.

 

 

 

Elementos de uma circunferência:

O = centro
r = medida do raio
d = medida do diâmetro, d = 2r

$$\overline{{\rm A}}\overline{{\rm B}}$$ = corda AB = x $$\le$$ 2r

Note que:

• a corda é um segmento que une dois pontos da circunferência;
• o diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência;
• o centro não pertence à circunferência.
  
  Com um pedaço de giz, ou um lápis, um prego e um barbante, você pode desenhar algumas figuras geométricas. Fixe um prego (ponto C) em um pedaço de madeira, amarre um pedaço de barbante nele e a outra ponta em um lápis (ponto L). Pronto, com um movimento contínuo, temos:
  
  
  

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Propriedades de segmentos internos e tangentes a circunferências:

 

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1. No desenho, a reta r intercepta uma circunferência de centro O e raio r, passa por O, e é perpendicular à corda AB no ponto M, que é o ponto médio de AB. Isso é demonstrável facilmente, observando que o triângulo OAB é isóscele, e o segmento OM é altura, mediana e mediatriz relativas à base AB.

2. Dados três pontos A , B e C distintos e não alinhados, existe e é única a circunferência que passa por eles. Observe que o centro dessa circunferência é o circuncentro do triângulo ABC. O circuncentro de um triângulo é o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.

 

 

3. Na figura, os pontos L, M e N pertencem à circunferência de centro A. Os pontos L, A, N são colineares e X é ponto médio de LM.

$$\overline{\mathrm{LA}},\overline{\mathrm{MA}},\overline{\mathrm{NA}}$$ são raios da circunferência.
$$\overline{\mathrm{LM}}e\overline{\mathrm{LN}}$$ são cordas e $$\overline{\mathrm{LN}}$$.
a reta $$\overline{\mathrm{AX}}$$ é perpendicular ao segmento $$\overline{\mathrm{LM}}$$

 

 

 

4. Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio traçado no ponto de tangência.

 

 

5. Por um ponto externo a uma circunferência é possível traçar duas retas que tangenciam a circunferência em pontos distintos, cujas distâncias ao ponto dado são iguais.

Ângulos na circunferência

Sempre é bom lembrar a definição: ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, não contida numa mesma reta (não colineares). Além dos ângulos, medidos em graus, a circunferência também tem outra referência: o comprimento, dado em radianos.

Ângulo central

É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência

 

 

AÔB = ângulo central

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= arco correspondente ou arco interceptado.

A medida em graus de um ângulo central será a medida de seu arco correspondente.

Ângulo inscrito

É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são secantes a essa circunferência

 

 

PÂB = ângulo inscrito

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= arco correspondente ou arco interceptado.

Teorema: a medida de um ângulo inscrito numa circunferência é a metade da medida do arco correspondente

Ângulo de segmento é todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados secante e o outro tangente à circunferência.

 

 

CÂB = ângulo de segmento.

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= arco correspondente, ou arco interceptado.

Teorema: a medida de um ângulo de segmento é a metade da medida do arco correspondente.

Ângulo de vértice interno

 

 

 

Teorema: a medida do ângulo de vértice interno $$\alpha$$ é $$\alpha =\frac{\beta +\gamma }{2}$$.

Ângulo de vértice externo

 

 

 

 

 

Teorema

: a medida do ângulo de vértice externo $$\alpha$$ é $$\alpha =\frac{\beta -\delta }{2}$$

Quadriláteros e cincunferências

Quadrilátero inscrito numa circunferência:
É o quadrilátero cujos vértices pertencem a uma mesma circunferência

 

 

 

 

 

 

Teorema do quadrilátero inscrito

: Um quadrilátero convexo está inscrito numa circunferência se e somente se os ângulos opostos são suplementares.

Quadrilátero circunscrito a uma circunferência:

É o quadrilátero convexo que tem os quatro lados tangentes a uma circunferência.

 

 

 

Teorema do quadrilátero circunscrito: Um quadrilátero está circunscrito a uma circunferência se e somente se a soma das medidas dos lados opostos é igual à soma das medidas dos outros dois lados.