Potenciação - expoente zero - Por que todo número elevado a zero é um?

• Expoente negativo

Por que todo número elevado a zero é igual um? A potenciação tem algumas propriedades que são as pistas para o entendimento dessa regra.

Para começar, sabemos que a potenciação é um caso específico da multiplicação, no qual todos os fatores são iguais. Por exemplo:

Nessa condição, escrevemos o valor do fator e na sua parte superior, à direita, um outro número que indica justamente quantas vezes o estamos multiplicando.

Esse número que é colocado na parte superior do fator é conhecido como expoente. Essa forma facilita bastante a escrita. Veja:

• 2 X 2 X 2 X 2 X 2
• 3 X 3 X 3 X 3 X 3
• 2 X 2 X 2 X 2 = 2⁴
• 3 X 3 X 3 X 3 X 3 = 3⁵
  
  As propriedades surgem espontaneamente a partir das operações da multiplicação e da divisão com potências.
  
  Para calcular (2⁵) X (2⁴), basta manter a base e somar os expoentes.
  
  Pode-se verificar isso pela própria definição da potenciação:
  
  Em (2 X 2 X 2 X 2 X 2) X (2 X 2 X 2 X 2) multiplica-se o fator 2 nove vezes (2⁹) e 4 + 5 = 9. Resumindo: (2) X (2) = 2 ^{5 + 4} = 2⁹.
  
  Na situação inversa - de dividirmos em vez de multiplicarmos - temos $$\left(2^5\right)\text{:}\left(2^4\right)$$ que no caso é igual a $$\frac{2^5}{2^4}$$ que por sua vez é $$\frac{2\text{.}2\text{.}2\text{.}2\text{.}2}{2\text{.}2\text{.}2\text{.}2}=2$$ , isso equivale a subtrair os expoentes.
  
  Dessa forma, no caso da divisão, se tivermos bases iguais, manteremos a base subtraindo o expoente do dividendo ou numerador pelo expoente do divisor ou denominador.
  
  Para o nosso exemplo teremos $$\left(2^5\right)\text{:}\left(2^4\right)=2^{5-4}=2^1$$
  É a partir dessa última propriedade que se produz a consequência de que todo número elevado a zero é igual a 1.
  
  Em divisão com potências, em que as bases são iguais, teremos a divisão de dois números iguais e um número dividido por ele mesmo resulta sempre na unidade.
  
  Um exemplo: se tivermos $$3^4\text{:}{3}^4$$ observamos que o dividendo é igual ao divisor e portanto a operação terá 1 como resultado.
  
  Pela propriedade $$3^4\text{:}{3}^4=3^{4-4}=3^0$$ e assim concluímos que $$3^0=1$$
  Poderemos experimentar bases com todos os tipos de números - com a cautela de excluirmos o zero. Pelo fato de a regra ter se originado da divisão, e não esquecendo que um número nunca pode ser dividido por zero, a regra ficará mais precisa com o enunciado que todo o número diferente de zero elevado a zero terá como resultado o valor um.