Multiplicação e combinação - Para calcular o número de combinações possíveis

A multiplicação está sempre relacionada com a repetição das parcelas em uma soma. Escrever 6 x 3 é o mesmo que escrever 3 + 3 + 3 + 3 + 3+3, possibilitando a comutativa de 3 x 6 = 6 + 6 +6 já que 6 x 3 = 3 x 6.

Aplicada de uma forma mais qualitativa, a multiplicação indica também a repetição dos fatos como, por exemplo, Carlos repetiu o ano pela terceira vez, ou ainda, os pedágios entre São Paulo e Rio de Janeiro congestionaram dez vezes durante um ano.

Mas a multiplicação não é somente para esses casos. É uma operação que aparece na situação em que temos que combinar alguns eventos que são produzidos pela natureza ou pelo homem. Nesses dois campos, podemos calcular o número dessas combinações usando a multiplicação como recurso.

Exemplos

Para mostrar como que a multiplicação interage com a combinação vamos partir do cotidiano de uma mulher que, ao sair para o trabalho, investe tempo em combinar as cores da armação dos seus três óculos com as doze blusas que possui. Com o objetivo de sair sempre de casa com um dos óculos e como uma das blusas, poderá formar 12 correspondências para cada óculos.

Como são três óculos então haverá um total de 36 opções. O cálculo da quantidade das possibilidades é feito com 3 x 12 ou 12 x 3. O número de elementos que compõe a coleção de óculos é multiplicado pelo número de elementos que compõe a coleção de blusas.

Agora, vamos a um exemplo relacionado à natureza, explorando três situações climáticas que podem ocorrer durante o dia: chuva, tempo nublado e sol. Na condição da situação climática permanecer constante durante todo o dia, isto é, se começar nublado, o dia ficará nublado sem possibilidade de alteração, estudaremos as possibilidades de combinações que podem ocorrer em dois dias.

Com essas regras que foram apresentadas construiremos pares combinando as três opções que podem ocorrer em cada dia. Os números 1 e 2 indicarão respectivamente, o primeiro e o segundo dia, enquanto as letras N, C e S corresponderão à condição climática do dia.

Dessa forma, se o primeiro dia for nublado, vamos indicá-lo por N1, combinando com as três opções que podem ocorrer no segundo dia, obtendo: (N1; N2), (N1; C2), (N1; S2).

Na hipótese de o primeiro dia amanhecer com sol, as nossas possibilidades serão: (S1; N2), (S1; C2) e (S1; N2) e, para terminar, se considerarmos o primeiro dia com chuva teremos: (C1;N2), (C1;C2) e (C1;S2). É um problema que terá nove possibilidades para serem analisadas.

Mudando a regra para três dias, em vez de dois, teremos 27 possibilidades formando trios, para cada possibilidade, em vez de pares. Para quatro dias seríamos conduzidos ao resultado de 81 possibilidades, notando-se que, com essas regras impostas ao problema, sempre multiplicaremos por três ao aumentarmos um dia.

Essa repetição do fator 3 conduz à potenciação permitindo uma generalização importante. Se no mesmo problema for pedido para se considerar dez dias em vez de dois poderemos responder que o número de possibilidades para esse caso é: 3¹⁰.

Esse movimento proposto pela combinação dos fatos que possibilita calcularmos o número de possibilidades pela multiplicação é desafiador e justifica a importância da matemática na sociedade moderna. As situações atuais que envolvem segredos de cofre e senhas de contas bancárias são experiências interessantes para serem exploradas.

Criação de senhas

Para facilitar os cálculos e mostrar os princípios com mais facilidade, vou utilizar um dos modelos mais simples de se produzir uma senha. O problema pode ser imaginado em um determinado banco em que o gerente peça ao cliente que cadastre a sua senha do cartão com somente dois toques, isto é, ocupando duas casas, na condição de ser obrigatoriamente um algarismo e uma letra. Quantas combinações serão possíveis?

Sabemos que em uma das casas usaremos uma das 26 letras de A a Z e, na outra, os dez algarismos de 0 a 9, assim, podemos começar considerando letras na primeira casa e algarismos na segunda num total de 26 x 10 = 260 possibilidades. Se sorteássemos um desses pares poderíamos ter, por exemplo, R6 ou A9.

Logo a seguir consideramos a inversão da posição sendo a primeira casa ocupada por algarismos e a segunda pelas letras, obtendo como resultado 10 x 26 = 260. Conclusão: há 520 possibilidades para a criação desse tipo de senha. É importante ressaltar a diferença entre este tipo de combinação e o exemplo da vaidosa mulher que combinava as cores da armação dos óculos com os tipos de blusas.

No exemplo dos óculos e das blusas, a ordem do par óculos-blusa não importa, isto é, a armação azul dos óculos com a blusa branca de manga curta produz apenas uma resposta. Já o caso da senha X7 é diferente de 7X e são consideradas duas respostas. Esta observação é importante porque mostra a importância da interpretação e da análise das regras nesses problemas que exigem combinações.